歪写数学史

dreamer

情人节应景

如果你有一点点害羞，而她有一点点优秀；
如果你用一点点浪漫，她就会一些些感叹；
如果你懂一点点数学，而她有一点点特别；
如果今天就是情人节，但她只把你当同学。

　　
如果你
没有勇气约会，
没有钱买玫瑰，
没有魄力喝醉，
才艺全部荒废。

　　
如果你
不知道她的地址，
不在乎她的历史。

　　
如果你
没有她的手机，
却能感到她的呼吸。

　　
下面这两个函数可以助你完成心愿。
先来一个二维的




再来一个三维的

再来一张，早上网友发给我的

　


　

dreamer

传奇还是悲剧---伽罗华

(Évariste Galois)

他是超越时代的数学大师，
他是愤世嫉俗的热血青年。
他是为情所困的浪漫才子？
他是福轻命薄的天妒英才。

20年5个月零5天的生命历程留下了关于他决斗原因的千古谜团，仅仅60页的著作建立起了数学史上不可磨灭的丰碑。在数学家这个被贴上理性和逻辑的标签的群体里，伽罗华用他的不世之才，不羁之志书写了数学史的一部另类传奇。

伽罗华的家庭并非大富大贵，但也衣食无忧，父亲是小镇镇长，母亲生于律师世家，都受过很好的教育，有一定的社会地位，用现在的话说就是中产，用马克思的话说叫做小资产。中产家庭的孩子其实是最幸福的，不用担心权贵之家的勾心斗角，社交压力，也没有穷人家的孩子为生活必需品担心的生存压力，所以伽罗华也有着幸福的童年时光。

直到十二岁离家前往巴黎的重点中学就读，伽罗华的全部教育都来自于父母的言传身教和自己的耳濡目染。常言道父母是孩子最好的老师，这句话的意思并非所有父母都能把教育工作做得最好，而是父母是对孩子影响最大的人。就我所认识的和知道的人渣，他们的父母要么也都离这个字也不远要么溺爱到无以复加的程度。基本上父母正常，后来因为社会原因改变的人在内心深处都还保留着最初的良知，只是人在江湖，身不由己，但是非曲直，自在人心，外部环境的改善可以很容易唤醒他们。但是一旦打下渣的基础，比如双枪大将军李家公子这样的，想要说声救你真的好难。

从知识的角度讲，伽罗华的家庭教育很出色，为他后来数学上的成功打下了很好的基础。但是从非知识的角度来说，我很难判断这种教育是对还是错。每个父母都希望自己的孩子有独立思考的能力，有自己的思想，有自己的性格，有一点与众不同，伽罗华的父母也不例外。所以母亲并不是简单地传授给他知识，而是试图培养伽罗华独立思考的能力。她也没有把自己的三观原封不动的搬给伽罗华，而是引导他自己去建立，作为搭配的是一种坚持自己信仰的坚韧。与此同时，父亲不畏强权，坚持反对暴政也给小伽罗华留下了深刻的印象。于是伽罗华不但有反对暴政的思想，不畏强权的勇气，坚持自己思想的坚韧，还有这三者结合后所铸造的性格。性格决定命运，看似人为的选择其实早已被性格所决定。

十二岁之前的小伽罗华空有一腔热血，却没有抛洒的目标。巴黎名校路易皇家中学的校方很不幸的成为小伽罗华心目中暴政的第一个代言人。1823年的法国在经历了大革命，波旁王朝，百日革命，波旁王朝复辟以后处处飘荡着政治的气味，即使这只是一所中学，学生们依然通过罢课和不在教堂里唱圣歌来表达对校方政治理念的不满，结果是一些学生被开除了，不幸的是伽罗华不在其中，而且坚定的站在了校方的对立面，这对一个留在学校里的学生来说无疑是一个不好的开端。愤怒的伽罗华总会有一些怪异的行为引起教师们的不满，而这些不满使他更加愤怒和怪异，可怕的循环就这么开始并一直继续了下去。

伽罗华对学校的不满还有另外一个原因就是对教学的不满。母亲给他打下了坚实的古典文学基础，而他自己又具备数学的天赋，因此大部分课程对他来说不过是浪费时间。最具讽刺意味的是，他最讨厌的课是代数。当他自己津津有味的读着欧拉，高斯，勒让德，拉格朗日，阿贝尔和雅可比的著作的时候，学校里使用的代数教材，对其他学生来说也许是图文并茂，内容详细的入门捷径，对伽罗华来说就是废话连篇的垃圾。而大部分老师们无法理解伽罗华，并视伽罗华为故意“胡闹，”最刻薄的评论是“假装胸怀大志和有独到的见解。”对于天才来说，因材施教显得更为重要。一个题外话，因材施教不等于一对一教学，见过太多老师一百个学生怎么讲，一个学生的时候还是怎么讲，唯一不同的就是收费乘了100。

万幸的是并非所有老师都是庸师，理查德(Louis Paul émile Richard)是第一个可以真正理解伽罗华的人，他给了伽罗华最高等的奖学金；他对伽罗华的评价是“伽罗华只适合从事最尖端的数学研究”；他鼓励和帮助伽罗华发表论文。十七岁的伽罗华在《纯粹与应用数学年报》上，发表了他的第一篇论文---《周期连分数一个定理的证明》，此时的伽罗华还只是路易皇家中学的一个中学生。在理查德的鼓励下，伽罗华还整理了自己的全部研究成果，准备呈交给法国科学院。很有可能的是，伽罗华在学习阿贝尔著作的时候没有研究阿贝尔的生平，要不然他不会找到柯西帮他转交这篇论文。在遗失阿贝尔的论文之后，柯西再一次犯下了错误。柯西丢失论文这件事看似是巧合，其实也有必然性。我不是说所柯西是故意弄丢的，柯西作为高产到可以比肩欧拉的数学家，他的工作状态和工作强度非你我可以想象，当他完全投入到自己的研究当中，忘了一些其他事情完全可以理解，遗憾的是这两次错误在某种程度上延缓了整个数学的发展进程。柯西丢失的并非伽罗华最重要的研究成果，它的致命性在于这次无心之过让伽罗华把整个科学院和院士们放到了他的对立面，他认为这是社会对他的不公，从而加重了他对社会的仇恨。

连续两次巴黎理工综合学院入学考试的失败又将伽罗华进一步地推向了深渊。第一次考试伽罗华准备不足，败下阵来应该属于他的意料之中，所以伽罗华没有气馁，积极的准备第二次考试。第二次考试的结果大家都已经知道了，但是关于过程，却有各种版本，首先可以确定的是伽罗华和主考官发生了争执，最广为流传和可信的原因是主考官无法理解伽罗华的阐述，从而对他进行了无情的嘲笑，伽罗华自己也曾回忆说“不得不听主考官的狂笑声，”根据一个不完全可靠却又有几分依据的传言，伽罗华被笑声激怒了，于是李寻欢附体，小李飞刀再现，一个黑板擦把主考官爆了头。根据我大胆的推断，考题应该不是“请你在最短的时间里让我记住你，”所以巴黎理工综合学院的大门对伽罗华永远的关闭了。

福无双至，祸不单行，父亲的自杀把伽罗华性格推向了极端。出于政治原因有人利用老伽罗华喜欢写诗的特点以他的名义和手法写了一首诽谤和谩骂某个伽罗华家族成员的诗，然后在群众中广泛的发放。老伽罗华无法承受这场迫害所带来的冤屈，含恨自杀了。伽罗华从巴黎赶回家为父亲送葬，在出殡的路上，伽罗华亲眼目睹了不明真相的群众向父亲的棺木投掷石块。这件事说明政治在各个国家都是肮脏的，而群众的眼睛不一定是雪亮的。此时，在伽罗华不那么成熟的心灵里只有对公正的怀疑和对社会的憎恨。

有道是否极泰来，在人生最灰暗的时刻，伽罗华被另一所名校巴黎高等师专录取了，在这里的第一年是伽罗华短暂一生当中少有的可以专注于数学的时刻，在这一年中他写了三篇论文还交了一个陪伴他一生的朋友---舍瓦利叶。这三篇文章被伽罗华浓缩到一篇打算递交法国科学院竞争数学大奖的文章里，这次伽罗华吸取了上次的教训，把手稿交给了科学院的终身秘书傅里叶。但是命运又跟伽罗华开了一个玩笑，因为傅里叶时年62岁，终年也是62岁，在他收到手稿不久就去世了，手稿也没了踪迹。

七月革命的枪声让伽罗华彻底把数学扔在了一边，而疯狂的投身于政治。此时伽罗华最直接的敌人就是为了保住自己的地位，封锁学校静观其变的巴黎高等师范学校校长。当革命胜利以后校长毫不犹豫的把所有学生交给了临时政府以显示自己的革命性，伽罗华被这种见风使舵的两面派做法彻底激怒了，给校报写了一封言辞激烈的信揭露这种丑恶的行为，校长可能是对这种行为感到内疚，非常客气的把伽罗华开除了。

自由了的伽罗华为赢得数学上的承认做了最后一次努力，他把一篇关于一般高次方程求解的论文交给了法国科学院，这次审稿人变成了泊松，他的评价非常简单，“这篇论文让人无法理解。”当伽罗华得知这个结果的时候，他只说一了一句话，“如果需要一具尸体唤醒人民，我愿意献出我的。”政治不是伽罗华想象的那么简单，革命也绝不是单单为了正义，再开明的国王还是国王，任何一个统治者都不会喜欢伽罗华过于激进的行为，于是伽罗华两次因为奇怪的罪名入狱。第一次的罪名是“企图暗杀国王”，事情的经过是伽罗华在提到国王的时候打开了一把折叠刀，在一位共和党律师的帮助下，伽罗华被无罪释放了。第二次的罪名更加荒诞，是非法穿制服罪，在被捕的时候伽罗华身穿他曾经参加过的炮兵制服，而炮兵已经被解散了，所以罪名成立，入狱6个月。在监狱的时间里，除了度过了20岁的生日外，他的思维也被重新拉回到了数学，离开了政治，他的最爱还是数学。非常遗憾的是，伽罗华被保释提前出狱了，他又回到了那个他憎恶的充满不公却有无法改变的社会，此时的他已经连幻想都没有了。

在决斗的前一天晚上，伽罗华和死神展开了一场速度竞赛，争分夺秒地试图写下脑海里那些伟大的数学思想，一整晚的奋笔疾书留给我们也只是一个潦草的大纲，一份手稿和频繁出现在页边空白上的“我没有时间，我没有时间。”14年后，这些手稿才被《纯粹与应用数学杂志》的编辑刘维尔理解整理并发表在该杂志上，又过了26年另一位法国数学家若当在他的著作《论置换与代数方程》里进一步阐释了伽罗华的理论，直到此时，伽罗华所创建的群的概念和把代数方程求解问题转化为对置换群极其子群做结构分析的思想才被世人所接受，为了纪念他，这套理论现在被称为伽罗华理论，它也是整个抽象代数学的起源。抽象代数有个特点就是懂的人是完全懂了，不懂的人是完全不懂，很少有人介于二者之间。关于伽罗华理论的具体内容我这里就不做任何介绍了，懂的人没必要再看一遍，没学懂的我也不做尝试了，抽象代数只是数学，物理，力学等少数几个专业的必修课，没有抽象代数的基础，不可能理解伽罗华理论，如果从群论开讲，我这章就可以写到明年了。我个人看法，伽罗华理论很巧妙而且不难理解，也就是说不难。如果你要是觉得伽罗华理论不难所以伽罗华也没那么天才那就错了，我的意见恰恰相反。没有什么比用简单有效的新方法去解决一个困扰人类长时间的问题更伟大的工作了。不论任何科学，简约都是一种美，复杂都是一种罪，数学在很多地方表现出的复杂性只不过是为了满足科学与严谨的最低要求，任何在不违反这种要求下所做的简化都是一种进步。就如同手机键盘从14个键到现在的一个键是一种进步而不是倒退一样。

希尔伯特曾经把费马大定理比为一只会下金蛋的鹅，实际上一般代数方程求解也是一只会下金蛋的鹅，卡当，塔塔利亚，秦九韶，费拉里，欧拉，阿贝尔都曾经得到过金蛋，但是不能所有人都养鹅取蛋，那样最终我们会死在鹅群手里，伽罗华杀死了这只鹅，还做了一份可口的鹅肉大餐，我觉着比蛋好吃多了。

让我们回到数学史上最黑暗的那一天，1832年5月30日，伽罗华在被子弹射穿了肠子后，丢弃在了决斗地点，几个小时之后才被好心的农民送到附近的医院。在神智清醒的时候拒绝了一位神父的祈祷，并对赶来的弟弟说：“不要哭，我需要我的全部勇气在二十岁的时候死去。”决斗的原因有不同的版本，有人说是为了一个舞女，有人说是为了一位他在狱中认识的医生的女儿，不过不论怎样，原因都不重要，这场决斗的本质只是伽罗华随着他的理想一起破灭的一种方式，决斗可以避免，但是他的死却无法避免。至刚易折，不论是对暴政的抵抗还是对公正的渴望，不论是对理想的执着还是对信念的坚持，伽罗华都没有错，错就错在没有人告诉他在丰满的理想和骨感的现实之间有一条路叫做妥协，不论一个人多么强壮，多么当聪明，多么伟大，这条路都是唯一的出路。伽罗华最终没能找到这条路，却打开了死亡之门。即使在生死面前，他依然没有妥协。对他来说，任何结果都好过面对这个肮脏的世界。我完全能理解伽罗华的痛苦，对伽罗华没有指责，只有感谢和惋惜，不论现在他在那一个世界，我希望他一切都好。

dreamer

1．引子

在一个百无聊赖的傍晚,你不远千米的来到水房和3号女生楼之间的必经之路，坐在路旁一把破旧的木椅上,先摆了一个遥望远方假装沉思的姿势,然后借着夕阳的余辉在心里给来来往往的师姐师妹们打分。突然你发现一个苗条飘逸的身影在向你靠近，随之而来的还有一道略带几分熟悉的注视。当你心里小鹿乱撞，感到受宠若惊的时候，这个身影已经来到了你的面前，你定了定神脱口而出道“二师兄，师父让你化的缘都化完了吗？”这不是悖论，这是你的眼镜又该换了。

那么,什么是悖论? Good Question，让我再给你一个场景。

作为为数不多的平民代表，你站在你们系富二代同学家豪宅里正在进行的party现场，当然这个邀请只是富二代同学为即将到来的期末考试做的准备之一，party的主题是我有钱所以想怎么花就怎么花。在喧闹的音乐声中，你惊喜的发现一直暗恋的她一个人静静的坐在角落，然后你猛喝两口杯子里不知名的洋酒，借着酒精的力量走到她面前，试图用一句“hi，同学你好。”打穿那道看不见的墙。或许是朦胧的灯光增添了你五官的精致；或许是独坐的寂寞提升了她交流的渴望；再或许是酒精的作用赐给了你们彼此力量，这个never work的开场白迅速开启了一段略带暧昧的对白。正当你沉醉于艳遇的快感，已经忘了自己的配角身份时，你的富二代同学从天而降，一手搭着你的肩，一边对她说“他跟你说的关于我的一切都是假的。”虽然你们没有说起一句关于他的话，但是很显然她的目光已经被他自信而略带挑逗的脸庞所吸引。

怎么回应才能从新夺回她的注意力呢？你此时心里最想的应该是一拳将你的富二代同学打到在地，然后一只脚踏在他身上说“你最好别碰我的妞。”但是你不能这么做，因为你所受过的教育告诉你打人是不对的，你也有可能因为出手而失去“优秀学生干部”的称号，更重要的是你的富二代同学虽然头脑简单，但是四肢发达，身为校篮球队主力小前锋的他比你高出20公分，重了40斤，在身后的音乐声中摇摆着的还有他几个铁杆队友，出手的结果很可能是你自己躺着出去。

当然你也可以列举最近被他甩了的一系列女友作为回击，这不仅正中他的圈套，而且古语有云“飞蛾扑火，”在没有被烧死之前，谁都想成为第一个驯服这团火的人，所以这很有可能是帮倒忙；就算她能悬崖勒马，你也最多得到一句“你真是一个好人”的奖励，然后就是形同陌路，仿佛从没有见过。为了一个追不到的妞，毁了你和富二代的关系，有点得不偿失。

好了，让我公布最佳答案，你回应“他说的这句话是真的。”

再让我们来分析一下得奖理由---这两句话的逻辑关系。富二代说，“今天你说的关于他的一切都是假的”，你说“他说的这句话是真的。”假设富二代说的是真话，那你的这句话也是假的，从而得出他说的是假话的结论；而假设富二代说的是假话，因为今天你只说了这一句关于他的话，所以这句话是真的，也就是说他说的这句是真话。不管你假设他的话逻辑上是真还是假总能通过逻辑推理得出矛盾的结论,这就是一个悖论。

在你得意洋洋的等待着她投来欣赏的目光时，最有可能的结局是她和富二代移步到楼上的卧室进一步交流，而你呆呆地站在原地望着他们离去的背影，并不停地在心里默念“不懂悖论的女孩不是好女孩”然后冲着他们的背影喊道“我真心祝你们幸福，”随着这句谎言,这个悖论也和她一起消失在楼梯的拐角处。(why？还请读者自行推理)

2.芝诺悖论

悖论的故事可以追溯到公元前的古希腊时代,画廊学派的创始人数学家芝诺就曾经有一系列的关于运动的悖论，被称为芝诺悖论。顺便说一下，画廊学派不是搞艺术的，而是哲学流派，得名的原因是他们喜欢在雅典的画廊里讨论和讲学。芝诺悖论虽然并不是一个悖论，但是它们都以描述运动的方式来揭示有限长度与无穷可分之间的矛盾。比如说有一个长度为一的线段，你可以把它等分成两个长度为二分之一的线段，然后再把每一段等分成长度为四分之一的线段，然后再等分，再等分，不论现有的每一段线段的长度是多么的小，你都可以一直继续下去，直到无穷，而且我们知道每一段线段长度的极限是0。套用微积分的语言是，任给ε>0，存在一个对应的正整数N，使得当分割的次数大于N的时候，每一段线段的长度都小于ε。好像也没什么矛盾，先让我们把这个问题放下，来看看芝诺悖论之一的阿基里斯和乌龟的悖论。考虑到阿基里斯的知名度，我这里给出的是变异版---刘翔和乌龟的悖论，您要是喜欢博尔特，把乌龟换成博尔特也行。

假设乌龟不是普通乌龟而是忍着神龟，刘翔也不是正常的刘翔，而是受了伤的刘翔，他们两个站在跑道上比赛 ，因为刘翔带伤，所以乌龟让刘翔100米。说乌龟不会跨栏的同学请注意，第一这是忍着神龟，第二这次没栏。假设乌龟的速度是刘翔的十倍，那么当乌龟跑到刘翔出发点的时候，刘翔已经跑出去10米，等乌龟跑完这10米到达刘翔第二个出发点的时候，刘翔又跑出去一米，当乌龟跑完这一米时，刘翔又已经跑出十分之一米，乌龟要想追上刘翔，必须要先经过他的某个出发点，可是当乌龟到达这个出发点的时候，刘翔又已经离开了这个点，所以不管乌龟多么的快，永远不可能追上带伤的刘翔。

生活的经验告诉我们，只要跑道够长，速度快的选手总可以追上速度慢的选手，而且所需时间我们也可以简单的用起始的距离除以速度差求得，但是想要指出上面悖论里的问题并不是一件容易的事。为此数学家们用了超过一千年的时间才彻底的完全的解决了它。在给出解释之前，我想回到等分线段的问题，让我们看看有什么矛盾可能出现。

首先，我要问大家一个问题：0+0等于几？答案不是0的同学请自行面壁两分钟。再追问：一百个零相加呢？答案不是0的同学请自行面壁一百分钟。一千个呢？一百万个呢？

答案不是零的同学请自行面壁相应时间。最后一个问题，无穷多个零相加呢？这次答错的同学只能有缘来生再聚了：P。这次是开玩笑的，实际上答错的同学有一点很可取，就是想到了无限和有限的区别。不过再多的零相加还是零。

第二，我们等分线段无穷多次，每一段的长度是多少呢？非常接近于0，要多近有多近，但是不是0呢? 让我们把所有线段的长度加在一起，答案是多少？1，因为最初的线段长为1。如果每段线段长度是0，那么就有问题了，因为无穷多个0相加还是0，所以每段线段长度不是零，有一个专用的数学名词称呼它，无穷小。无穷小和零要多近就有多近，但是它们不一样，有些时候，它们的区别太过细微，以至于我们不用去区别，但这不意味着它们是相同的。问题还没有结束，无穷个无穷小相加是多少呢？（因为是线段长度，我们只考虑正无穷小）回答为1的同学显然记住了这个例子，但是如果满分是1分，我只能给你1除以无穷大也就是无穷小分，因为答案有无穷多个。假设开始的时候我们等分长度为2的线段，无穷次等分之后是不是每一段的长度都是无穷小？再把它们相加得到的是原始长度2。如果最初线段长度是e呢？所以无穷个正无穷小相加可以是任何正实数。说的我好累，也不能让你们闲着，来两道作业题吧，请大家踊跃发言。

（1） 无穷个无穷小相加可以是0吗？
（2） 无穷个无穷小相加可以是正无穷吗？

【本段非数学专业可以忽略】说到这，我想到一个定理，与这个例子并不相同，但我感觉有着异曲同工之妙，就是任给一个实数r，任何一个条件收敛级数都有一个重排（Rearrangement）收敛到r。一个典型的例子就是交错调和级数（Alternating harmonicseries）。

现在再回到刘翔-乌龟悖论。假设乌龟的速度是10米/秒，刘翔的速度是1米/秒，开始的距离是100米，那么乌龟要用100/(10-1)=100/9秒的时间追上刘翔，在我们的悖论中，乌龟需要100/10=10秒到达刘翔的第一个起点，10/10=1秒到达刘翔第二个起点，1/10=0.1秒到达第三个起点，0.01秒到达第四个起点，10^（-n）秒到达第n+2个起点……，把这些时间相加
10+1+1/10+0.1/10+0.01/10+……=11.1111……=100/9
这是一个非常简单的几何级数（Geometric series）,小学奥校词汇是等比数列的和。

因为比值是1/10，我们甚至都不用公式就可以得到无限循环的小数解，分数是一模一样的答案100/9秒。既然两种方法得出的答案一样，那问题出在哪儿？如果你意识到左边的级数是一个无穷级数的话，芝诺把一个有限的数100/9分成了无穷多个数的和，也就是把一个时间段100/9秒分成了无穷多个时间小段，第一段长10秒，第二段长1秒，第三段0.1秒……，这个无限的过程仿佛让时间也扩展的无限，但是回到数学问题，就是一个收敛的几何级数而已。

3.辛普森（Simpson’s paradox）悖论

1951年，这个悖论第一次正式出现于论文当中，并得名于第一个将它正式描述的人---英国统计学家E.H辛普森。这是一个简单而有趣的悖论，我本人对统计知之甚少，但是这个悖论却深深的留在了我的记忆里。

假设有两个篮球运动员，为了不得罪任何球迷，一个叫做科比•詹姆斯，简记为KJ，另一个是勒布朗•布莱恩特，简记为LB。假设在本赛季,他们都出手了1000次，KJ命中538球，而LB命中497球，那么你认为谁投的更准些呢？我知道这一道看起来非常弱智的问题，KJ命中率是53.8%，而LB是49.7%，这不显而易见吗？但是此事另有蹊跷，还听我慢慢道来。

我们知道在篮球比赛中除罚球外有两种投篮得分，二分球和三分球，如果我告诉你，LB虽然总命中率低于KJ，但是二分和三分都比KJ投的准你相信吗？不信？那就让数据说话，请见下表。



      二分球   三分球      总数     二分命中率   三分命中率   总命中率

KJ  499/892  39/108    538/1000   55.94%      36.1%     53.8%

LB  162/273  335/727   497/1000   59.34%      46.1%     49.7%


可以看到LB不管是二分球还是三分球的命中率都高于KJ，但是总命中率却低于KJ，究其原因是LB更多选择投篮难度大的三分球，而KJ更多打到篮下，得分更容易些。如果不考虑投中加罚和杀入内线造成的杀伤，LB通过投篮得了1329分而KJ只得到1115分，仅就投篮而言谁好谁坏不言而喻。

辛普森悖论在现实生活中发生的几率并不高,但是一旦发生犹如足球中的反判与真相完全是背道而驰。个人认为辛普森悖论的人文意义大于数学意义,一方面比较两个人的时候不能只关注完成某些事情的数量和成功率,还要考虑完成的质量和难度,甚至是失败的次数。人一生当中最难的动作就是超越自我，能够勇于去挑战的人也许会一次次失败但依然值得尊敬。另一方面，每个人都要理解现存于社会的游戏规则在很多时候会用简单地量的比较作为评判标准,这个规则不一定是最科学的,但却是最有效的。如果你选择去走一条超高难度的路，你就要做好不被认可的准备，好比两个人大学毕业都从事数学研究，一个人的目标就是不用计算机证明四色原理，另一个就是尽一切可能的发文章，数十年过后，第一个人可能貌似一事无成，第二个人可能已经著作等身，头顶光坏。我不觉得这两种做法存在好坏之分，只是人生态度的不同，但是还有一句话叫做“态度决定一切”，你可以选择你的态度，你也要为你的态度带来的一切买单。

4.理发师悖论

理发师悖论被广泛的应用于开发少年儿童的智力上,也是我所知道的最早的一个悖论。故事是这样的，从前有个村，村里有座庙，庙里有个老和尚给别人刮胡子,刮的谁的胡子呢,村里所有不给自己刮胡子的人胡子，而且只给这些人刮。问题是这样的，老和尚要不要给自己刮胡子？如果他给自己刮，那么他就是给自己刮胡子的人，他就不该给自己刮；如果他不给自己刮，那他就是不给自己刮胡子的人，他就应该给自己刮。这个悖论的产生和引子里的故事如出一辙，都是通过逻辑推理自相矛盾。

理发师悖论只是罗素用于比喻罗素悖论的一个通俗的说法，我们可以自己创造出很多这样的例子。本章我不打算解释罗素悖论，因为罗素会作为某章的主人公稍后出现，而在他之前，我们还需要另外一位数学家---康托尔去开创集合论。集合的概念基本上被用于数学各个分支，而罗素悖论就动摇了这个基石，从而引发了数学史上的第三次危机。对政治来说自相矛盾也许是人之常情，但是对于从公理出发，以严谨推导而著称的数学来说，基石的毁灭将会引起整个数学大厦的倾覆。

最后让我用一个一句话的悖论来作为本章的结束语---“我从来不说真话！”