歪写数学史

dreamer

在无穷无尽的数字里，哪一个在数学史上最有意义呢？

选2这位，我问的是哪个数字在数学史上最有意义，不是哪个最能代表你。
选4这位，您太悲观了点。
选8这位，离系广东人？
选81这位，您在西游记里扮演的是哪个角色？
选911这位，拉登已经不做大哥很多年了。
选5201314这位，我真诚的祝你们幸福。
选13.692这位，周星驰电影看多了吧，不带这么无厘头的。
选0这位，想法不错，却总让我想起一句北京话叫“玩蛋去”。

提示已经在标题里给出了，揭晓答案吗？不好意思，就算穷尽愚公和他子子孙孙所有人的一生，也不能把这个数字完全写出来。不过不用担心，这个数字有个中文名字叫圆周率，还有英文名字叫Pi。那么什么是山顶一寺一壶酒呢？让我们写出Pi的头几位就清楚了，3.14159……。

我想所有喜欢数学的人对Pi都有一种特殊的感情，因为它是一个常见的数，一个有故事的数, 一个无穷无尽的数，一个脱离了分数表示的数，一个超越了的数，一个有益于人民的数。

记得读博的时候，每年的三月十四号被称作“Pi Day”，系里总会有一系列的活动，还会送出包括冰箱贴在内的许多小纪念品，比“3.15”晚会那真是强多了。

言归正传，先让我们看看Pi是什么？一般来说我们把Pi看做两个比值，第一个比值是圆的周长与直径，第二个是比值是圆的面积与半径的平方。在现在数学中，也有人定义Pi为满足sin x=0 的最小正实数。我个人认为那两个比值的定义要好很多，不但告诉了我们Pi是什么，也告诉了我们为什么需要它。当然Pi的用途不止于求圆的周长与面积，还与圆锥，圆柱，球体，椭圆，椭球等几何图形物体直接相关，此外与数学分析，数论，概率论，统计，物理学的关系也是剪不断，理还乱。

下面一个问题是Pi是怎么来的？现在比较流行的是两种说法，基督徒说Pi是上帝创造的；非基督徒说 Pi 不是上帝创造的。作为一个无神论者，我相信基督徒的说法。当你看到一个圆的时候，你大概会问周长直径比是多少，这是一个再自然不过的几何问题。当你发现答案并确信你仅仅解决了一个几何题目的时候，我听见有人在偷笑。而后的某一天你在研究数论的时候，发现两个任意自然数互质的概率是六分之一pi的平方，你环顾左右，没看到任何一个圆；当1735年欧拉（Euler）在回答巴塞尔问题的时候；当高斯（Gauss）在18世纪末研究正态分布的时候；当爱因斯坦 （Einstein）在1916年写下场方程的时候，那个笑声更大了。科学不相信巧合，却有太多巧合无法被科学解释。

不管Pi是谁创造的，从创世纪到启示录，从释迦摩尼到玉皇大帝，从真主安拉到女神雅典娜，没有任何一本经，一个神告诉我们，所以发现Pi还是要靠我们人类自己。那么是谁发现了Pi呢？还是健翔的名言“他不是一个人。”也不是三个人，这次是一群人，散落在世界各地历史长河里的一群人。值得自豪的是，在这一群人中，有多位出色的炎黄子孙，特别是下面我们要介绍的这两位。他们的工作让中国人对圆周率的计算领先了世界一千余年。

古语有云：“三尺圆圆一尺径。”这是劳动人民在长期的实践当中总结出来的。实际上任何一个懂得长度概念的人都可以用软绳估算出3这个比值，但是它实在是太糙了。比如你女朋友要给她的越野车备胎做一个镶水钻还带Hello Kitty的豹纹套，让你去量一下尺寸，结果你只量了直径然后乘以3，那很有可能的结果是你被塞进这个套里变成了备胎。所以说我们绝对不能满足于小3，要更近一步。

第一个做出突破性贡献的人姓刘名徽，生于三国，卒于西晋，汉菑乡侯后裔，与那个自称汉景帝玄孙中山靖王之后不留好书只留黄书的刘玄德同为散落在人间的草根皇族。不过这也没太多可炫耀的，当时没有计划生育，没有一夫一妻，光中山靖王一个人就有一百二十多个儿子。所以刘备选择了做草鞋，刘徽选择了做数学家，而且是纯民间数学家，一生中都没有一官半职。关于刘徽生平的历史记录很少，所以他在哪上的小学，有没有带过小红花，是不是勇斗过小霸王，有没有当过五道杠，全都不得而知。对数学他做了两件大事，一件事是给《九章算术》做了注，也就是补全了所有定理证明和习题答案。另外一件是他自己的著作，《海岛算经》和《九章重差图》l，可惜都已经失传。对圆周率的计算也有两个贡献，第一是“求徽数”，也就是怎么求平方根，这为计算圆周率提供了方法基础。第二就是“割圆术”，就是用正多边形的面积逼近圆的面积，这为圆周率的计算提供了理论基础。“割圆术”的想法在今天看来并不复杂，大部分人都能直观的感觉到当正多边形的边数越多是，面积与圆越接近，从而得到更为准确的结果。实际上，这个方法包含了数学当中一个非常重要的思想“极限”，即使今天，“极限”也是初等数学与高等数学的分界线，极限的概念也不是每个人都能像理解加减乘除那样的被理解。刘徽利用割圆法计算的圆周率是3.14159，并且得到两个分数157/50=3.14和3927/1250=3.1416，非常牛X的结果。为了纪念他，第二个分数被人们称为“徽率”。有的书上把刘徽称为“中国数学史上的牛顿”，我不知道在什么逻辑下，把刘徽与比他小了一千四百岁的人相比较是一种称赞。以中国蹴鞠的玩法，高俅估计每个月都能进个百八十个球，从来没见有人说高俅是“中国足球史上的梅西。”如果非要比喻，我只能说牛顿是“英国数学史上的刘徽，”梅西是“西甲的高俅。”

另外一位不得不提的数学家就是祖冲之。下面是祖冲之同志的简历。
姓名：祖冲之
英文名：Tsu Chung-Chi（港人起的？《Here's Looking at Euclid》）
别名/曾用名：字 文远
民族：汉
职业：数学家，天文学家，文学家，地质学家，地理学家，发明家和科学家
出生地：南京
出生年：429
星座：摩羯（据本人推断）
个人发明：水磨（有专利权），指南车，千里船，木牛流马（三国复刻版）
主要贡献：创立《大明历》，把圆周率推算到小数点后七位
历任职务：461年之前，刘宋科学院助理研究员，研究员，博士生导师 （华林学省）
          461年-464年，镇江市政府秘书 （史、公府参军）
          464岁-刘宋末年 ，江苏昆山娄县县长兼县委书记 （娄县县令）
          刘宋末年，刘宋政府中央办公室主任 （谒者仆射）
          494年-498年，南齐关中军区司令员 （长水校尉）
代表作品：《缀术》唐朝教育部官方指定国子监数学教材，
《述异记》南北朝最佳鬼故事，畅销书排行榜TOP5
《安边论》南齐第一五年计划指导纲要
个人荣誉：月球背面的“祖冲之环形山“
          小行星1888被命名为“祖冲之小行星”
          上海浦东张江高科技园区内的“祖冲之路”
           莫斯科大学大礼堂前的走廊壁上的彩色大理石像
           刘宋十大杰出青年
           南齐松花江学者
个人爱好：音乐，围棋（业余九段）


祖冲之得到了圆周率在3.1415926到3.1415927之间和355/113这个在分母小于16600的分数里最接近Pi的分数，这个分数被称作“密率”，也被称作“祖率”。同样的精度，欧洲人比祖冲之晚了将近一千年。可是我要说，祖冲之的功劳里有刘徽的一半，因为祖冲之是继承和使用了刘徽“求徽数”和“割圆术”的思想与方法。刘徽算到三千零七十二边形，而祖冲之和他的儿子祖暅之算到了两万四千五百七十六边形。祖冲之最大的独立贡献是那部《大明历》，他测得的年长与今天我们使用的年长差距在50秒之内。关于祖冲之的记载要比刘徽多的多，下面是我在网上找到的关于祖冲之的小故事中的一则。


祖冲之是一个非常有心计的孩子。虽然，他不喜欢读经书，但他却酷爱数学、天文。一天，夜已经很深了。小冲之翻来覆去总是睡不着觉。《周髀算经》上说：圆周是直径的三倍，这种说法可信吗？

第二天，天还没亮，他就把睡在身旁的妈妈叫醒，恳切地对妈妈说：“把您做鞋用的绳子给我一根，好吗？”妈妈望着他幼稚的小脸，爱抚地说：“可以。不过，你要绳子干什么？”“好妈妈，您先别问，等会儿我告诉您”。小冲之央求说。妈妈知道小冲之很懂事，就高兴地答应了。

小冲之拿着绳子，飞快地跑到村头的大路上，一会儿朝前看看，一会儿朝后望望，像在等什么人似的。

突然，前面来了一辆马车，小冲之喜出望外，急忙跑上去拦住马车说：“爷爷，我用绳子量量您的车轮吧？”赶马车的是一位老人，听小冲之说要量马车的轮子，感到莫名其妙，他想看个究竟，就停住马车，对小冲之说：“你量吧！”

小冲之首先把绳子在车轮上绕了一圈，然后把被绕的绳子均分成三段，再用其中的一段量车轮的直径。左量右量，总觉得比直径长。他百思不得其解，问老人说：“爷爷，书上说周长是直径的三倍，可为什么周长的三分之一比直径长呢？”老人被小冲之的话问愣了。他想：我赶了一辈子马车，从来没想过这个问题，你一个小孩子家，想这些问题干什么？他不想耽误赶路时间，就一边吆喝牲口，一边笑着说：“孩子，我怎么知道它的长短呢？”马车轱辘辘地向前走着，周长的三分之一比直径长的问题，在小冲之的脑海里翻腾着。小冲之一直想啊，想啊，直到四十多岁时，才终于解开了这个迷，算出了精确的圆周率。


看完这个故事，我只有一个问题，是祖冲之母子脑残，还是编造这故事的人脑残。不管是脱离群众的亚里士多德，争名夺利的牛顿，还是过分谦虚的高斯，畏惧神学的笛卡尔，不管多么伟大的人，总是有着他们自己的软弱，而中国古代的一个个名人还都兼着圣人，基本上都是一出生就志向远大，一懂事就勤奋刻苦，一有功就谦虚谨慎，一有难就临危不惧，一有爱就刻骨铭心，一入土就立马成佛。没犯过错的人我只听说过一位，可人家是上帝之子，三位一体，而且应该不懂中文，难不成他老人家在中国不停地转世？可是没听说谁妈是处女怀孕呀。有人说，这是写给小孩子看的，所以用的是小孩子的语言。我以为，不是写的东西比林志玲说话还让人牙疼就是小孩子的语言，在大多数情况下，对小孩子最好的教育就是让他们知道真相。当然任何一个人去记录另外一个人总是会不自觉的融入个人感情在里面，有时候也会为了达到目的而夸张，甚至编造，但是编的要有创意，比如下面这段。

六月三伏天正午大太阳下的官道，一彪人马疾驰而来。为首的是个虬须老者，身后斜背着一个包袱，一身青衣，双目圆睁，仿佛要看穿周围的一切。他左右两匹马上是一男一女，年纪都不大，却也都紧缩双眉，不停地环顾左右。再往后是一辆马车，车不大，为了保持速度却有两匹马在前面拉着，车上只有一个箱子，箱子上插着一杆杏黄色的小旗，旗子上面绣着德云镖局四个字。车的两侧是四个趟子手，都穿着土黄色的短衫短裤，正襟上也都绣有德云二字。车子后面只有一个中年书生摸样的人，骑得不是马而是一头驴，他倒是喜笑颜开，一边摇着扇子，一边哼着小曲。这时只听中年书生说道：“二哥，从天不亮一直跑到现在，你要累死饿死渴死我们不成？”声音不大，却清楚地传到车队每一个人的耳朵里。老者略微放慢了速度，看了看左右的两个年轻人，问道：“你们也累了吧？”男孩不答，只是看着女孩，女孩冲着老者点了点头。老者抬眼望去，在目力能及的范围里，已经被太阳烤焦的大地上竟有一片树林，于是说道：“到前面的树林里休息一下，也省得在省城里抛头露面了。”

一行人刚进树林，突然从树后走出一个少年，也就十三四岁年纪，手中拿着一条八尺软绳，两眼直勾勾的望着马车，一言不发。老者右手握住身后包袱超出肩膀的一端，左手指着那少年问道：“什么人？”

少年也不紧张“祖冲之。”

名字很陌生。老者一边仔细观察少年手中的长绳，一边快速思索着善用鞭索等软兵器的名家。但这少年敢用普通的软绳，莫不是内功到了一定境界已经可以以绳为鞭。不管那么多，先探明来意再说。

“你是劫镖呀,劫镖呀还是劫镖呀？”

少年一愣，“老伯，我只想量量那马车车轮的周长和直径。”

老者皱了皱眉，说道“你有病呀？”

少年毫不示弱：“你有药啊？”

老者：“你吃多少？”

少年：“你有多少？”

“你吃多少我有多少！”

“你有多少我吃多少！”
……

我知道说的远了点，让我们重回正轨。虽然欧洲在这个精度上落了后，但是他们领先过，而且还不是一点。如果说早于刘徽的欧洲人里只有一位能做得比中国人更好，那这位就是非亚里士多德莫属了。他比刘徽早了差不多五百年发现圆周率是3.14，而且据说他用的就是割圆法。还有一位我想提一下的是英国业余数学家山克斯（William Shanks）,这哥们花了十五年的时候把圆周率计算到小数点后707位，还刻在了自己墓碑上，结果后人发现从第528位起就是错的，当然这无损于这些他钟爱的数字作为他最好的墓志铭。

接下来让我们再次来到岛国时刻。这次这个岛国是离我们很近的那个。从1981年开始，岛国人就屡次打破计算圆周率的世界记录，到目前为止，现在的世界记录是小数点后10的十三次方位，也就是一百万亿位。假设我们画一个很大的圆，多大呢，整个太阳系都在里面，然后我们用小数点后35位的圆周率计算直径，得到的结果与真实结果的差距小于一个质子的直径万分之一。那么为什么我们还要计算这么多位呢？想起曼城队的巴神（巴洛特利）有一次在警察问到为什么要在家里放几万英镑现金的回答，“因为我能。”我想最能理解岛国人的非巴神莫属了。不过听说岛国资源不是很丰富，电能也还是能省就省一点吧。

除了在数学物理领域里，Pi还有什么用呢？在Google公司2005年的一次公开募股中，集资额不是通常的整头数，而是$14,159,265，这当然是由Pi小数点后的位数得来。而且谷歌公司2004年的首次公开募股，集资额为$2,718,281,828，用的是另一个超越数学常数e。此外，在数学物理界最流行的排版软件LaTeX从第三版之后的版本号为逐次增加一位小数，使之越来越接近π的值：3.1，3.14，……当前的最新版本号是3.1415926。

dreamer

高斯出生的时候，莱布尼茨已经去世了六十一年，牛顿也已经躺在威斯敏斯特教堂地下有五十年之久了。在这期间，微积分的思想与方法被推广和普及，许多数学分支被系统化的创立和取得了突破性的进展。

许多伟大的名字都值得被记住，比如分析之父，公认的历史第四人，欧拉（Leonhard Paul Euler）；法国十八世纪后期的三“L”—分析力学创始人，“欧洲最大的数学家”，拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange)；天体力学泰斗级人物，分析概率论的创始人，拿破仑的私人数学家教，拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace)和椭圆积分理论奠基人，解析数论先驱，勒让德（Adrien-Marie Legendre)；还有他们同时代的法国同胞，热传导理论的第一人，发现了“温室效应”的傅里叶（Joseph Fourier）。我先把他们的名字放在这，算是许给大家了，等写完这一章，咱就就直奔十八世纪的法国。

能让我跳过这么多伟大的名字，能让我如此地迫不及待，能让我佩服得躺倒在地（五体投地的一种逆形式）的只有数学史上第一天才，无可争议的历史三大牛人之一，高斯。比较这三位牛人的贡献是徒劳的，由于所处的时代不同，所做的工作不同，不论怎样给他们排出顺序总是会有众多的反对者。但是如果从人格魅力的角度出发，谦虚有礼的高斯可以轻而易举的击败孤傲的阿基米德和争名夺利的牛顿。

和众多带着公侯伯子男头衔的法国贵族数学家们不同，高斯出生于一个贫穷的家庭，祖父是个园丁，父亲除了园丁，还负责修水管和搬砖。除了名字里带着个“高”，不知道高斯身高几许；在高斯成名以后，他依然保持清贫节俭的生活；至于帅，我依然不能给予肯定的回答，外貌这个东西本来就是仁者见仁智者见智。即便如此，我也很难把高斯的形象像牛顿那样和屌丝划上等号。历史上总有一些人，或许出身贫寒，或许样貌丑陋，或许身有残疾，仅靠他们的行为就能赢得尊敬。

有道是自古英雄出少年。王戎七岁，因为没有其它小朋友跑得快，本着酸葡萄的心理蒙对了路边的李子树上的李子都是苦的一炮而红；司马光六岁，原想搬起石头把那个被他推进水缸的对手置于死地，因为砸歪了而成了救人的小英雄；曹冲五岁，往猪鼻子插了大葱，装成了一回象被誉为神童。而高斯显露出他的天赋是不到三岁。有一次高斯他爹在计算发给其他工人的工资，小高斯就在一旁，就在爹地马上要算完的时候，小高斯告诉他爹算错了。如果你现在疑问小高斯是不是蒙地，说明你从前面的三个故事里学到一些东西。不过答案是否定的，因为小高斯在指出错误的同时还给出了正确答案。最让人惊奇的不是高斯比他爹算的准，而是从没有人告诉过他任何和加减法有关的事情！表鸡冻，表鸡冻，我知道你们都很“震精”，当这个故事传到瑞士“号称数学史上数学基因最强”的伯努里家族的时候，不管是趴着的躺着的坐着的还是站着的，所有人都集体蛋疼了一下。高斯会数学就像鱼会游泳，鸟会飞翔一样，神马家族遗传，神马课外辅导，神马名师授课，神马胎教趁早，管他什么神马，只笑浮云不少。

另外一则广为流传的故事发生在高斯在当地一个民办希望小学上学的时候。那一年，高斯十岁。学校里唯一的一个老师在算术课上给学生们出了一道长加法题，1+2+…+100, 他的本意是用这样一道没有意义的题打发掉学生们一个小时的时间，谁知他刚说完题目，高斯就给出了答案，而且是正确答案。孔子曰：“不要在上帝面前装耶稣基督，因为装的再像也只能是他儿子。”孟子曰：“孔子说得对。”对于一个十岁的孩子而言，能够完全掌握和理解等差数列的求和公式已经很优秀，而高斯是在短时间内独立地发现了这个公式。如果现在还有人怀疑高斯的天才，请参考孔子的话。即使这个老师再愚蠢，他也意识到自己的这个学生非同寻常。于是他买来了当时最好的数学书给高斯，当高斯在很短的时间里读完了那些书之后，已经超出他的老师很多了。关于高斯天才的例子还有太多，比如说他十六岁时预测在欧氏几何之外必然会产生一门完全不同的几何学，即非欧几何，十八岁发明了至今仍应用十分广泛的最小二乘法，十九岁证明了让欧拉和勒让德困惑的二次互反律和第一个成功的用尺规构造出了规则的17边形，二十四岁完成的著作《算术研究》被誉为数论中的圣经，等等等等等。

高斯身上另外一个值得别人尊敬的品质是谦虚。最典型的例子就是高斯的博士论文，论文的题目是《关于每一单变量有理整函数都可分解为一阶或二阶实因子之积的一个新证明》，实际上是代数基本定理，既每一个一元N次代数方程在复数域内都有N个根（包括重数multiplicities）。欧拉，拉格朗日都曾经试图解决过这个问题，但是都没有结果。证明是正确的，但是题目是错误的，错在哪儿呢？这不是一个新证明，这是人类数学史上的第一个证明，在此之前，所有试图征服这个定理的人都失败了。说什么好呢，虽说谦虚使人进步吧，咱能不能步子迈小点。 另外一个我很想提到的例子就是高斯的日记，包括十九张纸，146个发现和计算结果。而所有这些结果在高斯去世43年之后才被公开，很多在十九世纪才被发现和证明了的结果高斯早已得到和证明，其中包括非欧几何和椭圆函数。如果高斯能够在他刚得到这些结果的时候就公布出来的话，数学的进程将至少被提前半个世纪。与费马在丢番图的《算术》上只写下费马大定理和那句耐人寻味的千古之谜不同，高斯给这一百多个结果都加了简洁而有力的说明。即便现在百分之八十的数学家在费马面前更像是业余选手，但与高斯相比，不论是天赋还是贡献，费马也只能被称作业余。曾有人劝说高斯去证明费马大定理，高斯的回答是，我没有兴趣去证明一个孤立的命题。什么意思呢，为了避免涉及过多难以理解的数论内容，我用初中学过的一元二次方程给大家做个比喻。费马大定理就好比一个非常难解的一元二次方程，高斯说我对任何一个一元二次方程都没兴趣，我要研究的话就是找出那个通用的一元二次方程求根公式。这个比喻也概括了高斯最伟大的贡献之一，前文提到过很多牛人，他们也证明了很多难度系数很高的定理，然而他们的结论都是一个个孤立的命题，高斯给出了一般形式，把所有这些结论系统化的联系了起来，很多艰难的证明只是高斯一般论述的一个特殊推论而已。当高斯看到其他数学家发表的最新结果只是他早已完成的工作时，他保持了沉默，所有这一切都是在他的日记发表以后才被发现。谦虚并不是一件容易的事情，特别是对于一个比同时代几乎所有人都要聪明的人就更是难上加难了。当一个天才的篮球运动员出手41次只得了34分的时候，他说这是每一个伟大投手都会被人指责的地方。当你参加任何一个国内的学术会议的时候，即使是只有一点点成绩的“小牛”（没见过真正的大牛），总是摆出一副咬牙攒了半年钱买了一个LV never full的工薪族挤地铁时候表情，生怕还有人不知道牛字怎么写，五米之外就能被他们身上散发出来的牛气撞一个跟头。我个人认为高斯的谦虚可能与他的出身有关，虽说好心的斐迪南公爵资助了他的教育和一些著作的出版并让他不必为经济烦恼，但是家庭的贫困还是让他多多少少的丧失了一点自信。

作为一个不到三十岁就誉满欧洲的数学家，高斯一生都保持着简朴的生活方式。一间小书房，一个铺着绿色台布的小小工作台，一张漆成白色的书桌，一个单人沙发，在他70岁以后，再加上一把扶手椅，一个带灯罩的灯，一间没有生火的卧室，简单的饮食，一件晨衣和一顶天鹅绒的便帽便满足了他全部的需要（源自高斯的朋友，地质学家Von Waltershausen）。当拿破仑实际上控制了德意志时候，高斯被勒索了2000法郎作为拿破仑战争基金，而作为哥廷根大学教授和哥廷根天文台台长的高斯却无力支付这笔钱。众所周知，拿破仑是一位喜欢数学的皇帝，在百度词条里他的职业除了军事家和政治家竟然还有数学家。而高斯作为当时欧洲最伟大的数学家，估计随便给拿破仑寄一张签名照或者某次讲座的VIP票，这2000法郎就可以被免去。然而作为一个德国人，看着资助自己的斐迪南公爵因为拿破仑而死，高斯没有选择这条路。他首先收到了天文学家奥伯斯 （Wilhelm Olbers）寄来的钱，高斯选择了退回并表示了谢意。然后法国数学家拉普拉斯来信了，说钱已经交了而且能够从世界上最伟大的数学家身上卸下这付担子感到很荣幸。虽说拉普拉斯在巴黎已经把钱交了，高斯还是拒绝了他的帮助并且试图筹到这笔钱还给拉普拉斯。终于，又有人给高斯寄钱了，这次高斯收下了，不是因为跟汇款人熟，是因为退不回去，这次是匿名汇款，所以他只能把钱留下并用这笔钱偿还了拉普拉斯的帮助。

在众多数学家之中，高斯评价最高的是亚里士多德和牛顿，虽然生在不同的时代，超人的智慧让他们惺惺相惜。亚里士多德生来就是贵族，还是亚历山大大帝的老师，是主流社会的主流阶层，对社会环境有一定的支配力，这是他能够专心于科学事业的保证；牛顿是农家子弟，在科学领域里取得成功后执着于对名誉的追求，妥协于社会；高斯也是贫苦出身，却能甘于贫穷与寂寞，不随波逐流，一生都致力于科学研究。从高斯身上我们可以看出并不是每一个出身贫苦的人在取得成功后都会对名誉和金钱有着超出常人的渴望。对于高斯，除了智慧还有很多我们应该记住的东西。天赋是与生俱来的，不是每个人都能选择拥有无与伦比的天赋，然而每个人都可以选择做一个什么样的人。



为了纪念高斯，滑大每年五月都要举办一个以高斯命名的数学竞赛，现在已经成为加拿大国家级别的比赛了，吸引着世界各国爱好数学的小朋友们参加。

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虽说三大牛都不是法国人，排在第四的欧拉也不是，但是法国却有着最为庞大和豪华的数学家阵容，从文艺复兴后一直到现代，法国的数学界是人才辈出，群星闪耀，而且有两个特点，一是连续二是扎堆儿。时至今日，法国依然是能与美国分庭抗礼的超级数学大国。学过法语的人都知道，法国人这数学是从一会说话就开始训练了。83他们说4个20加3,91是4个20加11 而97是4个20加10再加7，有加法，有乘法，有同余，有等价类。一百以内加减法是不用教了，会说话的基本就会了。最可怕的是法国人说电话号码都是两位两位地，比如说61719197，他们说成 3个20加1,3个20加11，4个20加11,4个20加10再加7。想要去巴黎浪漫一下的同学除了练好法语以外还得再好好补补数学，别回头人家给你留电话都听不懂。说一句题外话，成材率能和法国数学界相提并论并全面超越的也只有那个有着五千年悠久历史，九百六十万平方公里土地的文明古国了，现如今，在这边神奇的土地上，能顺溜的说几句车轱辘话，上一两回电视的都成专家了；能写几句现代八股文，发一两篇豆腐块的都成作家了；写出来的东西前言不搭后语，自己都不知道自己说的是什么的也都成诗人了；能吼两嗓子，再弄出点绯闻裸照的都成歌唱家了；最不济的，办事颠三倒四，脑残到了极致的，也都是行为表演艺术家了。哎，不好意思，又跑题了，下面的时间就都交给本章的主人公勒让德先生吧。

以勒让德的贡献，放在世界大多数国家里都能够成为该国历史上最好的三位数学家之一，在德国或者俄罗斯也有希望冲击前五，在法国呢，前十都有点悬。不过能够和拉格朗日和拉普拉斯并称，绝对不只是因为勒让德选对了Last Name，从数学史的任何角度出发，都不能将他视为茫茫人海里的平凡一员。 把勒让德定位于“普通”，更确切的词汇应该是“典型”，只能归罪于法国太过豪华的数学家阵容。勒让德生于富有家庭，受过良好的教育，得到过名师的指点，是巴黎科学院和法兰西研究院的两院院士，典型的法国数学家成长经历。

达芬奇说“世界上没有两个味道完全相同的松花蛋，”再典型的数学家也有“非典型”的一面。不过首先让我们回顾一下上期的主人公-高斯。受木星的影响和维纳斯的庇护，高斯的性格里带有金牛座做事过于认真，追求完美的特点，所以高斯的很多工作并没有发表，因为他觉得不够完美，有时他会等到结果完美了在发表，有时他会通过其他方式提及自己的研究成果，比如他的日记和他写给友人的书信。高斯这么做有他自己的理由，但是却害苦了比他大了二十多岁的勒让德。勒让德平时工作比较刻苦，为了工作还隐居了一阵，也没要孩子，一心扑在事业上。在1805年五十三岁的时候发表的一本名为《计算彗星轨道的新方法》的书，在这本数的附录中介绍了一种通过最小化误差的平方去寻找拟合数据最佳函数的方法---最小二乘法。不料在1809年高斯发表的《天体运动论》一书中，高斯也介绍了最小二乘法，并提到他在1794年就发现并开始使用这个方法。因为在勒让德书中的前半部分里他并没有使用最小二乘法，所以有理由相信他是在成书的过程中才发现这种方法的，而高斯又有着延迟发表的毛病，所以大部分人相信高斯早于勒让德发明最小二乘法。这在数学史上是仅次于微积分发明之争的第二大公案。最后结局也是承认他们各自独立发明了最小二乘法，不过似乎世人更愿意把功劳都记在高斯的头上，当然部分原因是高斯的方法更完美，对此勒让德是非常的不满。

故事还没有完，勒让德还有一个重要的发现叫做素数定理是有关素数分布的研究，他并没有证明这个定理，只是有一个猜想，他在1798年发表了自己的研究，在当时被公认为第一篇关于素数定理的文献，勒让德也成为素数定理的提出者。没想到在1849年的时候，高斯在给天文学家恩克(Johann Encke)的信里提到自己在1792到1793（十六岁）年就对素数分布进行了研究，并得提出了素数定理，于是素数定理发现者的荣誉又被从勒让德的口袋里飞到了高斯的名下，唯一庆幸的是，此时勒让德已经去世十五年了，所以在他的有生之年，他一直相信他才是素数定理第一人。

此外勒让德还有一项成果的大部分功劳也被记在了高斯头上，就是二次互反律。这次高斯没有宣称自己早于勒让德发现二次互反律，因为当它作为一个猜想被勒让德提出来的时候高斯只有七岁，如果高斯真的在七岁之前就发现并证明了二次互反律，那真得把勒让德活活气死。遗憾的是，勒让德自己没有能证明二次互反律，而高斯是第一个给出证明的人，时年是十九岁，而且高斯把他称作算术中的黄金定律，此后又给出了另外七个不同的证明。

故事还可以继续，勒让德在1798年将他毕生在数论方面的成果编辑成册，发表了《数论随笔》，没想到才过了三年，高斯就发表了被誉为数论圣经的《算术研究》，随后《数论随笔》被《算术研究》全面取代。勒让德这次一没有放弃，也没有羡慕嫉妒恨，在1808年以《数论》的名字出版了《数论随笔》的升级版（第二版），并在序言中给予了高斯的《算术研究》积极的评价，虽然《数论》没有能代替高斯的《算术研究》报那一箭之仇，但也成为了数论中的经典著作。当然，勒让德还是有很多高斯没有取得地成果，比如说椭圆函数（后来在高斯的日记里也被发现了），几何学（终于是高斯的弱项了）。他的一本名为《几何学原理》的教材被译为多种文字并统治了初等几何教育近一个世纪。悲催的是这本书后来被认为是限制非欧几何发展的罪魁祸首。而且他本人也在将近二十年时间里徒劳的想要证明平行公设。

如果勒让德在闲暇的时候看过一本叫《三国演义》的书的话，他一定对里面的一句话非常认同，就是“既生瑜，何生亮？”

最后还有一件趣闻。因为勒让德十分低调，因此他没有留下什么画像，直到2008年才发现了一副他真正的画像（如图）。我觉得要么是画师和他有仇，要么是画的时候他想起了高斯。


勒让德和高斯之间的差距就如同一个永远学习第一，获奖无数，藤校毕业，500强里的最牛b技术人员和一个成绩普通，大学没毕业的叫乔布斯的人差距。一个聪明的人通过良好的教育可以缩小和天才的差距，但是真正的天才永远不会是教育出来的。

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腓特烈大帝说，“拉格朗日是欧洲最大的数学家。”

拿破仑说, “拉格朗日是数学科学一座高耸的金字塔。”

我说，“拉格朗日可能是数学家里最有文艺范儿的。”

“我希望死，是的，我希望死，我在死亡中发现了一种愉悦。”这是拉格朗日在76岁临终之前说的最后一句话。倒回二十几年，在一个法国巴黎上流社会的聚会中，拉格朗日一个人站在窗前茫然若失的凝视着窗外一言不发，他的背影对那些前来对他表示敬意的客人们就像是一幅冷漠的风景画。再让我们转换空间，卢浮宫内豪华而舒适的寓所，拉格朗日一个人静静地坐在午后温暖的阳光里，在离他不远的书桌上放着他一生中最重要的成果《分析力学》，从两年前这本书的出版以来，他只是让灰尘轻轻的飘落在封面上而从来没有打开过。情绪化对待真实生活---文艺青年必备素质之一。在拉格朗日一生中时不时闪耀出的文艺范儿可能是因为在意大利出生的他多少受到了达芬奇，拉斐尔和米开朗基罗（不是忍者神龟）的影响。

好吧，我承认把拉格朗日定位于“文艺”L是剧情需要，说拉格朗日是文艺青年也有些牵强附会，在那个时候的欧洲，随便一个受过点教育的人都有着现在所谓文艺青年无法理解的艺术气质，其实拉格朗日从小一直都是积极向上的好孩子，而且算是少年成名。他一共有过10个兄弟姐妹，而他是唯一没有夭折的。因为继承了一大笔遗产，他的父亲很富有，不像中国父母对待独子那样，他的父亲对钱很有计划，等到拉格朗日可以继承财产的时候正好把能卖的都卖了，能花的都花了。拉格朗日对此的评价是，这是他一生中最幸运的事，否则他就会与数学擦身而过。我觉得最幸运的是，他没有从他父亲那里继承一大笔债务，以他父亲的生活方式，如果他再晚几年继承的话很有可能变成现实。

也许没有高斯那样的天资，但朗格朗日的数学天赋毫无疑问在所有数学家中也是出类拔萃的。他对数学的兴趣源自于他十七岁时英国数学家，第一个预言扫把星回归周期的埃德蒙•哈雷（Edmond Halley）一篇称赞微积分的文章，在此之前，他对数学没有任何兴趣。当然天才与普通人的区别就是，一旦兴趣来了，那真是流氓会武术，谁也拦不住了。拉格朗日只用了不到一年的时间就完全掌握了他那个时代最先进的数学分析。十八岁时写出了他第一篇论文用牛顿二项式定理处理两函数乘积的高阶微商并寄给了当时欧洲最出色的数学家，柏林的欧拉，后来发现他的结果在五十年前被一个叫莱布尼兹的人已经发现了。如果你认为拉格朗日和勒让德一样倒霉那就错了，十九岁的时候，拉格朗日利用变分法解决了等时曲线问题，并又把结果寄给了欧拉。据说欧拉已经基本掌握了拉格朗日的方法并已使用多年，但是当欧拉看到拉格朗日的结果时，他给予了充分的肯定并一直等到拉格朗日率先发表了他的论文，“这是为了不剥夺你应得的荣耀”。不知道是不是通过这件事，拉格朗日和欧拉成为了一生的朋友，而且实际上欧拉是拉格朗日的博士导师。从这个角度来看“套磁”是有效的而且是有历史依据的。顺便提一下，欧拉的博士导师是伯努利家族的约翰•伯努利，而拉格朗日也有两个举足轻重的博士生---傅里叶和泊松。论文的发表使拉格朗日在当地一炮而红，在伽利略之后，意大利已经很长时间没有一个在欧洲有影响的科学家了，19岁的他被任命为都灵皇家炮兵学院的数学教授，23岁的时候成为柏林科学院的外籍通信院士，并成为和欧拉，伯努利们并列的欧洲一流数学家。

变分法在伯努利家族那一章里提到过，最初的萌芽上是从约翰•伯努利最速曲线问题，后来很多数学家都做出过贡献，包括约翰的兄弟雅克布，洛必达（Marquis de l'Hôpital），牛顿，莱布尼兹，欧拉，以及拉格朗日之后的高斯，柯西，泊松（Simeon Poisson），雅克比（Carl Jacobi）直到维尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）才算把变分法系统和完整的发展起来。当然贡献最大的应该是拉格朗日和欧拉，时至今日，变分法里最重要的一个方程叫做欧拉-拉格朗日方程。

拉格朗日的另外一个杰作是《分析力学》，这本从他19岁就开始构思的巨著在一般力学中的地位就如同万有引力在天体力学中的地位。在这本书中，拉格朗日利用变分法统一了一般力学拉而且又展现了他文艺的一面。汉密尔顿对此书的评价是，这是科学的诗。但我觉得最文艺的地方就如拉格朗日在前言中写到的，在这本书中你找不到图。回想中学物理课上不厌其烦的用平行四边形法则和直角三角形对一个力进行分解，原来牛人是不用画图的。首先拉格朗日和高斯一样不喜欢几何。其次是学过解析几何的读者都知道虽说图形很有帮助但不是必须的，只要有了图形对应函数的表达式，任何局部或整体的性质都可以在没有图形的情况下得到。最后一点，拉格朗日考虑的力是四维空间里的力，空间加上时间，所以做图本身就是一件不可能的事，即使是三维的力在没有Matlab，C++等软件帮助的情况下，也非常困难。他对于力的这种描述方式在1915年爱因斯坦用于广义相对论后才开始真正流行。这本书直到他51岁的时候才在巴黎出版，勒让德是书的编辑，不过在那个时候，拉格朗日对数学甚至是对生活都失去了兴趣。

除了变分法和《力学分析》外，拉格朗日还有一个很重要的贡献就是解决了“三体问题。”不要想歪，这个“体”是天体可不是人体。因为这个贡献，他在1764年和1772分别获得了法国科学院奖和巴黎大奖。那么什么是“三体问题”呢？这要从牛顿的万有引力说起。万有引力都懂吧？就是一男一女总会产生互相吸引的力，为什么叫“万有”呢？那是因为后来发现两个男的或是两个女的也会产生互相吸引的力。 什么？晕，不好意思，拿错剧本了。万有引力应该是两个物体通过连心线方向上的力相互吸引。该引力的大小与它们的质量乘积成正比，与它们距离的平方成反比。看见了吗？与质量的乘积成正比，所以减肥的女生要注意了，当你的质量减轻的同时，你对另一半的吸引力也随之下降了，这是有科学依据的。什么？又错了。好吧好吧，万有引力不适用于追求身材的女性，哎，你说牛顿也不给个小注。三体问题呢就是三个天体两两互相吸引，他们的运动轨迹有没有什么规律？这可比万有引力复杂。好比一男一女本来感情稳定，家庭和睦，突然又冒出一位，这问题一下就复杂了去了。拉格朗日呢有条件的解决了这个问题，条件就是他假设其中一个天体的质量小到可以忽略不计，比方说太阳地球月亮，月亮就是那个不考虑质量的天体，在这种情况下，他算出5个月亮可能出现的位置。也就是说凡是满足三体条件的，最小的那个天体只会出现在5个位置。这五个位置也被称作拉格朗日点。知道拉格朗日点有一个好处就是比方说你要发射一个卫星，你可以把卫星地球和太阳看成一个三体问题，然后把卫星发射到一个拉格朗日点，当然随着地球的公转，拉格朗日点也会改变，但是不用担心，卫星会因为万有引力的关系始终相对稳定的待在拉格朗日点。

总结一下：拉格朗日用分析力学的方法系统的研究了＂三体问题＂，并得到了＂共线＂和＂等边三角＂两种特殊解，在人类和＂三体＂漫长而艰巨的斗争中作出了不可磨灭的贡献。把＂共线＂和＂等边三角＂两种特殊解应用于＂圆形限制性三体问题＂就直接导出了５个平衡点，即拉格朗日点，其中３个点与两颗主星共线，另外两个与两颗主星在轨道平面上构成两个等边三角型。欧拉先于拉格朗日几年发现了与两颗主星共线的３个点。拉格朗日点的稳定性是更复杂一些的问题。简单的讲，与两颗主星共线的３个平衡点都不稳定；当两颗主星的质量比满足一定条件时，与两颗主星构成等边三角型的另外两个平衡点是稳定的。这也就解释了相对于太阳和木星两颗主星而存在的希腊小行星群和特洛伊小行星群。希腊那泼在前面跑，木星挡在中间劝架，特洛伊那泼在后面跟倒追，太阳把一切看在眼里，笑而不语。

拉格朗日一度很颓废，我认为是因为爱情。他第一任妻子的过世给了他很大的打击，虽然在结婚的时候用他自己的话说，他并没有计算出是做对了还是错了，但是当妻子病倒了以后，他日日夜夜的守在她身边，当她去世的时候，他悲痛欲绝。在此之后，他自己的话是，我的工作减少到在只是安静和沉默中从事数学工作。后来拉格朗日又振作起来了，还是因为爱情的力量。在56岁的时候，他的一个朋友比他小几乎40岁的女儿坚持要嫁给他，而事实证明这是一段成功的婚姻，拉格朗日又焕发出了第二春。这件事说明拉格朗日生活很有规律，即使在颓废期也没有忘记锻炼身体，为第二春打下了良好的身体基础。当然40岁的年龄差在数学圈里虽然很罕见，与物理圈一比只能说是小巫见大巫了。

拉格朗日生在意大利，在30岁的时候被腓特烈大帝德邀请到德国担任柏林科学院数学部主任，50岁的时候又接受路易十六的邀请到法国科学院任职，其后经历了法国大革命，又受到拿破仑的赏识，在委员会中任主席，而开始时同在委员会的拉瓦锡和拉普拉斯都被清除了出去。能在不同的国家，不同的民族，不同的环境下利于不败之地，是因为拉格朗日谈吐柔和的风度和谦虚谨慎的性格。他始终跟随他自己的信仰与追求，当革命党要处死他的朋友化学家拉瓦锡时，他说“处死他只需要几秒钟，但是要再等一个像这样聪明的头脑却需要几百年。”他既不支持保皇党，也不支持革命党，他认为两方面都践踏了文明。他只做他自己认为对的事情，从不妥协于任何权利与统治者。在下一章，我们将看到另一个L以不同的方式确保自己的荣誉和地位，在同一时代，他们做到了同样的事，但是当我们回顾历史的时候他们却有着截然相反的评价。当每一个小圈子，小团体，小社会上演着权利之争的宫廷戏的时候，总是有些人会担心站错队，不知道该怎么办，也许最好的方式就是做好自己该做的事，不去跟随任何权利而只跟随自己的良心。也许你会说不是每个人都会像拉格朗日那样幸运，难道为了良心不值得放弃些什么吗？

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当出场人物只有三个，前两个分别被称作普通和文艺的时候，最后一个出场就不是什么太值得高兴地事了。在我之前，数学史有过很多版本很多作者，2和b在各种版本中出现的次数绝对不少，但是连在一起用于形容一个数学家这应该是第一次。换句话说，2b的第一次给了拉普拉斯。不管从贡献还是天赋，拉普拉斯都称得起是个数学家，但是评价一个人绝对不是只看天赋和贡献，还要看人品，历史上不乏因为比别人都更具天赋所以坏事干的比别人都多都更恶劣的主儿。作为一个数学家，拉普拉斯没干什么太坏的事，也不是一个坏人，所以我觉得2b是适合他的，就如同在厕所偷过纸，教会蹭过饭，costco拍过西瓜的名校高材生一样，虽然被称作猥琐，但一点也不影响他们在各自的专业领域里攀登科学高峰的路上时不时停下来到附近的连锁快餐店里接一杯免费的饮料，当然杯子得自备。世人对此种种行为有诗赞曰：

“偷纸蹭饭不嫌烦，饮料从来不花钱，二手两田最耀眼，人不猥琐枉少年。”

现在在第一段胡说八道已经成习惯了，只对数学史感兴趣的读者以后看完题目直接看第二段就行了：）。

关于拉普拉斯小时候的记载很少，不是因为他跟勒让德一样低调，是因为他为他卑微的农民父母感到羞耻，所以他从不提及自己的青少年时代并竭尽全力的隐瞒自己的农民出身。仅凭这一件事，想为拉普拉斯辩护的人都可以住嘴了，否则2b就不只属于拉普拉斯一个人了。

在这里还有一个人我不得不提，虽然我不会专门为他写一章，但我想他一样值得我们记住。他就是法国数学家达朗贝尔（Jean le Rond d'Alembert），他和我们这两章的主人公都有着密切的联系，他和拉格朗日是终生的朋友，并和欧拉一起把拉格朗日带到了柏林；他在拉普拉斯十八岁那年发现了拉普拉斯的数学天赋，并带他进入到更深的数学世界。这里我要提到的不是他们之间的数学传承，而是达朗贝尔对待出身的态度。达朗贝尔的父亲是一个贵族同时也是一名军官，母亲是一个法国当时很有名的沙龙的主持，这就相当于官一代与娱乐明星的结合，比如说我们习core这种。目前来看，达朗贝尔是幸运的，可以拼爹，还可以进娱乐圈，但是有一个问题，就是他爸结婚了，而他妈没有结婚，综合在一起的结论就是他是一个私生子。碰到这种事情怎么办呢，他爸先跑路了，不是真跑，政府官员吗，出个国考察考察很正常，他妈呢，作为一个娱乐圈红人，著名女主持，未婚先孕，迫于压力又不能公布孩儿他爸，于是一咬牙一狠心，在孩子出生以后把孩子抛弃在圣让•勒朗教堂的台阶上，达朗贝尔的名字也因此而来，他的全名是让•勒朗•达朗贝尔。他被一个装玻璃的工人和他的妻子收养，他们待他也像亲生的一样，若干年后，当达朗贝尔在科学界出名了以后，他的生母派人来找他，他的回答是：“装玻璃工人的妻子才是我真正的母亲。”很显然达朗贝尔只教给了拉普拉斯数学，而没有给他讲过这个故事，否则的话很有可能拉普拉斯身体里的那个小就会被压榨出来。

由于出生在农村，拉普拉斯上的是当地的乡村学校。在这里他就开始展现了他的才华，不过不是在数学上，而是神学。具有讽刺意味的是在他的后半生当中他是一个坚定的无神论者。我个人认为有信仰是一件非常美好的事情，但是为了达到某种目的去选择信就有点荒唐了。当然最荒唐的还是一个号称有着几千万信徒的什么主义，而现在这些信徒当中能解释清楚这种主义已经比大熊猫还要稀少了。在这件事上，我不能断定拉普拉斯怀有任何目的，一个人在青少年阶段没有形成世界观之前的信仰是很飘忽不定的，就如同大部分信曾哥的人在几年前都曾经是春哥的门徒。不管怎么样，拉普拉斯展露出的才华引起了人们的注意，其中不乏一些有影响力的人，给他写了推荐信，于是他满怀希望的擦去了身上的泥土前往巴黎去追逐他的城市梦了。

拉普拉斯最先去拜访的就是达朗贝尔，结果并不令人满意。达朗贝尔对只带着大人物推荐信的年轻人不感兴趣。但是他没有死心，马上把他关于力学一般原理的精彩见解寄给了达朗贝尔，这封信打动了达朗贝尔，在回信中他写道：“你不需要什么推荐信，这是对你自己更好的介绍。”法国数学的发展除了天赋以外，像达朗贝尔这样重真才实学的伯乐功不可没。在一个人脉比学术重要的学术圈里专心做研究无异于痴人说梦。不善于交际应酬的人应该受到一些惩罚，但应该是在社交生活里而不是学术研究上。在达朗贝尔的帮助下，拉普拉斯成为巴黎军事学校的数学教授。在此后他写给达朗贝尔的信中，他说，“我从事数学研究，只是出于爱好，并非追求虚名。我最大乐趣是欣赏那些数学家的研究，看看他们是怎样用他们的天才去解决所遇到的困难，然后把自己放在他们所处的位置，思考自己会怎么解决那些问题。在大多数情况下，这种置换只是让我感觉到自己的渺小，但是他们的成功所带来的鼓舞，丰厚地补偿了这一点点微不足道的屈辱。如果我有幸能为他们的工作添加一些东西的话，我会把全部功劳都归于他们最初的努力，并确信他们在我的位置上会做的更好。”这是我见过的最谦虚最励志的私人信件了，如果拉普拉斯能够做到他所说的，那么他的形象会比现在的他要高大许多许多。而事实是他用行动证明了有一种修辞手法叫做“反语，”而且反得是那么彻底。对于任何对他有用的结果著作，拉普拉斯都进行了无法无天的剽窃。从拉格朗日那里，他窃取了位势的概念；勒让德关于分析的许多结果也被他占为己有；在他的巨著《天体力学》里，他略去了所有他引用的文章和书籍，给人造成一种他独自创立了全部天体数学理论的假象。

在学术上，拉普拉斯最2b的事就是他对数学证明的处理。与执着于纯数学之美，精确，严谨，深刻的拉格朗日不同，拉普拉斯只是把数学当成一个工具。当成工具没问题，但是不能每次用完就随手一扔，这让后面还要使用这件工具的同学很难办。拉普拉斯每次需要计算或者证明什么东西的时候，就在草稿纸上计算或者推导，一旦他得到自己想要的结果就到此为止，不会再花时间整理了。那书里那些定理证明怎么办呢？就用四个字代替，这四个字是“显而易见。”很多时候读拉普拉斯的书，一个显而易见可能需要你花好几天才能见着。懒得写证明可以理解，以前费马也干过这事，许多我看着深奥难懂的定理在拉普拉斯眼里显而易见我也可以理解，但是所有定理全都用这四个字证明只是说明了拉普拉斯的2b也是显而易见的。

在三十六岁的时候，拉普拉斯除了晋升为院士，还发生了一件影响他命运的事情。作为唯一的一个主考官，他面试了一个叫拿破仑•波拿巴的年轻人。这个面试确保了在此后的大革命中，没有像他的朋友拉瓦锡那样丢掉脑袋，不仅如此，还一举打入政坛，成为一颗冉冉升起的政治新星，获得了法国荣誉军团的大十字勋章和留尼汪（La Réunion）勋章，还被封为帝国的侯爵，当上了内阁大臣，应该说拿破仑给了他所能给予的一切。随后，路易十八复辟成功，拉普拉斯表示毫无压力，一夜之间从激进的革命党变成了热忱的保皇党并做下了他一生中最为人所不齿的一件事，亲自签署了流放拿破仑的法令并因此得以继续顶着侯爵的头衔坐在路易十八的身边。在这一系列事件中，拉普拉斯展露了他过人的政治天赋，不是每个人都能轻而易举的转换旗帜并得到新主的赏识，而拉普拉斯很出色地做到了。至此，拉普拉斯可以彻底去掉他身体上的全部泥土味了。

作为同时代最伟大的数学家，有很多拉格朗日和拉普拉斯的比较，就数学而言最有发言权的应该是他们的学生泊松和傅里叶。作为一个数学物理学家，泊松更倾向于拉普拉斯对于数学的理解，“拉普拉斯把数学看做一个工具，当每一个特殊问题出现时，他就巧妙的修改这个工具，使它适合于该问题。”而傅里叶则站在拉格朗日这一边，“拉格朗日既是一个大数学家也是一个大哲学家。他欲望淡泊，用他的一生，用他高尚质朴的举止，以及他崇高的品格，最后用他深刻而精确的科学著作，证明了他对人类普遍利益的深厚感情。”这两种对于数学的理解虽然迥然不同，应该说并没有高下之分。此外拿破仑对二人也有不同的评价，“拉格朗日是数学科学一座高耸的金字塔。”这句评语在上一章已经提到过，要指出的是，这句话并非拿破仑心情愉快时候的信口一言，而是他经过深思熟虑以后给出的评价。对于拉普拉斯，拿破仑的评论更加具体，“拉普拉斯是一个第一流的数学家，却只是个平庸的行政官;从他最初的工作我们就可以察觉到受骗了。他不能从真实的观点看出任何问题，他处处寻求精巧，想出的只是些胡涂主意，最后把无穷小的精神带进到行政机关里来。”拉普拉斯对此可能的回应是，“拿破仑是一个第一流的军事家，却只是个平庸的政治家，从他最初的功绩我们就可以察觉出受骗了。他总是带着明显的观点看待任何问题；他总是在不该怀疑的时候怀疑背叛行为，恰恰在该怀疑的时候没有怀疑；对他的支持者的信任如同孩子般的天真，最后把一种无限慷慨的精神带进了一个贼窝。”还有一个趣闻也许可以帮助读者自己做出对他们的判断。拿破仑曾经问过拉普拉斯“为什么在你的如此巨著里面都没有给上帝留下一个位置呢？”拉普拉斯说，“我不需要这个假设。”同样的问题拉格朗日的回答是，“这个假设可以解决很多问题。”

又到了该结束的时候了，我知道我还没怎么介绍拉普拉斯的数学贡献。主要原因是我觉得拉普拉斯在人性方面的表现比他在数学上那些伟大的贡献还要精彩。在写这一章的时候我一直处在一种纠结的心态，因为我马上就要搬起石头砸自己的脚了。从最开始我手里就紧紧攥着一块石头，准备带领大家在结束时候扔拉普拉斯一个痛快。站在道德制高点审判别人是最容易的事，但是换做我是拉普拉斯，我会做什么样的选择呢？耶稣说：“谁没有罪就扔第一块石头吧。”我扔不了，我觉着我扔了就是仍在我自己的身上。我崇拜高斯，佩服拉格朗日，我也同样欣赏牛顿，理解拉普拉斯。倒退若干年，我还是一个可以为了真理和自由牺牲一切的热血青年，现在我明白伽利略是个战士却不是一个榜样，可以学梵高的画风，却没必要学他的人生。我现在只想好好孝敬父母，陪陪妻儿，多挣点钱让他们过上更好的生活，在我眼中这比任何真理都来得真实，温暖，美丽，这就是我眼中最真的真理。文中第一段提到的猥琐事我没有做过一件，但我却做过比那些都萎缩百倍千倍的事，而且不止一次。 为了这个真理我会毫不犹豫地做更多。当我骂着学术圈里靠人脉的时候我多么希望有个牛人能把我带到体制内让我也成为一个既得利益者。不知道为什么看着拉普拉斯我想起了骆驼祥子，看似个人选择却是没有选择的选择。从本质上说，拉普拉斯和一个82岁娶了28岁的诺贝尔奖得主没有什么区别，而这个诺贝尔奖的主自己的注释是，“我只不过在每次做选择的时候都做了正确的选择。”在这个笑贫不笑娼，成王败寇的社会，只有成功人士和loser,没有人会去纠结你是怎样取得的成功。人或者说绝大多数人都是社会的人，不管游戏规则多么荒谬除了妥协就是晚点妥协，如果为了我爱的人们能够更幸福一点，我愿意把猥琐进行到底。

PS：这是我到目前为止写的最为沉重也最累的一章，特别是到最后，几乎无法理性的思考。虽然已经停笔，但心情依然不能平静。本想以一个旁观者的身份给大家呈现出一个无厘头却又真实的历史，结果犯了写史最大的臭，写着写着把自己写了进去了。请原谅我这种违反了娱乐大众初衷的写作方式，在下一章我将努力回到正轨。

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即使在完全失聪的最后几年，贝多芬(Beethoven)依然创作了弦乐四重奏，钢琴奏鸣曲第30,31,32号，庄严弥撒和第九交响曲。对于一个没有听觉的人来说，音乐是什么？我无法回答，但是我想应该是超越了音乐本身。也许欧拉可以回答，在生命最后的八年里，他生活在一个完全黑暗的世界，双目失明却没能阻止他继续一篇又一篇的发表了占他一生百分之五十的论文。音乐对于贝多芬，数学对于欧拉也许只是他们存在的方式。不论他们自身如何改变，要么继续这种方式，要么消失。

三大牛人的概念已经深入人心，其实数学史上还有所谓的四杰，多出来这位就是本章的主人公欧拉。牛顿去世的时候欧拉十九岁，欧拉去世的时候高斯只有六岁，应该说欧拉赶上了好时候，牛顿和莱布尼兹留下了一个威力巨大的工具，微积分，却没有人能够真正驾驭它。欧拉是第一个真正征服微积分的人。

欧拉的成长再次证明了数学史是一部天才史，天赋在这部历史里是普遍现象。如果你觉得天才如Sheldon Cooper的人物只是The Big Bang Theory剧集里虚构出的角色的话,那么在真实的数学史里我们可以在很多人的身上找到sheldon的身影，唯一不同的就是，他们都还有着至少正常的的情商。欧拉进入巴塞尔大学是13岁，在前面我们提到过伯努利家族的人也是这所大学培养出来的，而欧拉能够顺利的进入没有少年班的巴塞尔大学也有约翰‧伯努利的功劳。当时约翰在巴塞尔大学任数学教授，也正是他推荐欧拉进入巴塞尔大学，当校长表示不支持录取如此年轻的欧拉时，约翰说，“对于天才，年龄不能成为进入大学的一种限制。”15岁的欧拉完成本科，16岁时取得了艺术硕士的学位，19岁得到博士学位，同一年欧拉独立完成了他的第一项研究---船舶的桅杆配置---论述了在一艘船上应该有多少桅杆和在什么位置装置这些桅杆，现在看来这不是什么重要的问题，但是在那个大航海时代这是关系到对海洋控制的国家利益问题。这个题目是当年巴黎金奖的题目，遗憾的是欧拉只获得了安慰奖---荣誉提名,不过此后欧拉十二次荣获巴黎金奖算是弥补了这个小小的遗憾。26岁的时候，欧拉接替丹尼尔‧伯努利成为圣彼得堡科学院数学研究所的首席研究员，在33岁的时候离开俄国，到普鲁士任柏林研究院首席数学研究员。在59岁的时候，受邀再次回到俄国，并在圣彼得堡度过了生命中最后的十七年。

关于欧拉的趣闻轶事不少,少年时数过天上的星星,帮老爸智改过羊圈,还自己发现了“完全数”,今天我挑战一下向大众传播数学知识的高难度任务,讲讲欧拉在29岁解决的格尼斯堡七桥问题。这个问题本身并不复杂。如下图所示



格尼斯堡这个城市被一条叫做Pregel的河分为四部分,两岸(B和D)和两座河心岛(A和C),这四部分土地由七座桥按照图中给出的方式连通在了一起,假设有一个人想散步,在散步过程中要求每座桥都经过并且只经过一次,而且起点与终点相同, 这样的散步可以做到吗? 当地居民对这个问题很感兴趣, 很多人都亲自实践试图找出答案,并因此掀起了一股全民健身的热潮。我看了一下这个城市的航拍图, 又用谷歌地图估算了一下距离,从B出发经5,1到D，再由4，7回到B，光这一圈就的有8公里左右，如果还要尽可能的走过每一座桥，那怎么也得10K了，好在没有人因为研究这个问题而猝死。到了1735年,当地居民不打算再试了,决定请人来帮忙。候选人有两个,一个是欧拉,一个是当时世界马拉松的冠军,最后头脑战胜了身体，欧拉获胜,被邀请到格尼斯堡研究这个问题。经过一年的思考，欧拉终于得到了解答，这个散步是Mission Impossible,也就是说只有汤姆克鲁斯才能完成,考虑到几百年以后阿汤哥才出生，所以七桥问题无解。下面我就给大家讲解一下无解的原因。首先七桥问题不是一个数学问题，所以第一步我们要把它转化为等价的数学问题，也就是下面这张图。




ABCD四片土地被简化为了四个点，有人说不对啊，我从B区的一个地方出发回到B区另外一个地方还是不满足回到起点的要求啊。从B区任意一点到B区的另外任意一点都有不经过任何一座桥的路线，所以你要是从B区任意一点出发做到不重复走过每座桥一次再回到B区任意一点，那实际上已经解决了这个问题。七座桥被简化成了7条连接这四个顶点的（弧）线段，A和B之间有两条弧线对应两座桥连接AB两区。又有人说不行啊，你把桥简化的这么细，我又没练过平衡木，走的时候掉下去怎么办？这你不用担心，在你掉下去之前，我已经把你踹下去了。理解了这两张图是等价的,等价的数学问题就是从ABCD任意一个顶点出发，一笔画出图二中的图形并回到起点，所谓一笔画就是笔不离开纸不重复的画出每一条边。让我们看两个例子，比如说“田”字不能一笔画，而“口”字和“串”字就可以一笔画，不过“串”字的一笔画不能回到起点，如下图


平时以狂草作为主要书写风格的朋友可能又有意见了，只要纸够大，哥们整篇文章连字带画都是一笔画，那我只能说您和阿汤哥同属于impossible那类的。这里的汉字都只代表它们的形状，不包含它们的常规书写方式，没有人真会按照上面的方式写串字。

在我给出最后的结论之前还要定义两个名词，奇点和偶点。所谓奇点就是有奇数条线与之相连的一个顶点，例如图二中的ABCD，A有五条线相连，而BCD各有三条线相连,所以他们都是奇点。偶点就是有偶数条线与之相连，比如“田”字中心的那个点，有四条线与之相连。再让我们来想想他们各自的性质。在我们试图一笔画的过程中，要到达一个奇点总要通过一条和它相连的线，而要离开一个奇点，因为不能重复，所以还需要另外一条和它相连的线，一来一去需要两条线，再来再去又需要两条线，可是一共有奇数条线与它相连，所以总会富裕出一条。也有例外就是当这个点是起点或者终点，要么不需要进来要么不需要离开。而偶点就没有这些问题，你总是可以选择一半的线作为进路另一半作为退路。结论很简单，一个图形里面如果所有定点都是偶点，或者只有两个奇点，那么这个图形可以一笔画出来。不过都是偶点的情形可以取任意点作为起点并在结束的时候回到起点，而两个奇点的情况只能取其中之一作为起点，另外的奇点作为终点。回到七桥问题，因为四个点都是奇点，所以不能一笔画。上面的这个结论被称为欧拉定理，这个定理不仅解决了七桥问题，实际上这个定理回答了所有一笔画问题。

孤立的解决一个困难的问题有时候有些意义，但是一流的数学家总是试图找出或者创造出一个一般的方法去解决所有同类的问题。这是判断一个数学家成就时候的一个重要标准，牛顿创造了数学史上可以说最有威力的工具---微积分；高斯统一了数论里面许多孤立的命题并给出了一般方法；阿基米德就更牛了，从数学到哲学，从教育到社会，他都是一个体系一个体系的来，虽然今天看来，他的许多关于自然科学的结论是错误的，而且他的数学知识水平还不如现在一个普通的大学毕业生，但都丝毫不妨碍他凭借可以作为一般方法并包含近代数学思想萌芽的系统化理论跻身于超一流数学家的行列。七桥问题并不是一个很复杂的问题，在今天一笔画问题只是小学奥林匹克数学竞赛的题目，但是通过七桥问题，欧拉不但彻底解决了一笔画问题，而且开启了一个新的数学分支---图论。这并不是欧拉的主要贡献，他的主要贡献是建立了数学里最重要的分支之一---分析。在欧拉之前，数学是代数和几何双雄争霸，在欧拉之后数学变成了代数，几何，分析三足鼎立。时至今日，即使数学的小分支可能有几百个甚至更多，这个三足鼎立的大局面依然成立。

终于结束了这次漫长科普之旅，还是让我们回到对欧拉本人的注意上面来吧。欧拉有两个重要的天赋，第一是计算能力，第二是记忆力。关于记忆力，欧拉可以从头到尾不犹豫地背诵出一本近万行的史诗巨著《埃涅阿斯纪》，并能指出他所背诵的那个版本的每一页的第一行和最后一行是什么。除此之外，欧拉还可以背出前100个素数中任何一个的10以内的次方。 而且即使在晚年，欧拉也可以记起他在青年时写过的所有笔记。关于计算能力有一个非常夸张的例子，有一次欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个数字，欧拉为了确定究竟谁对，没有借助任何工具，没有电脑，没有计算器，没有用一支笔一张纸，只凭心算把错误给找了出来。顺便提一下，高斯也有着不同寻常的记忆力和心算能力，他从来不用查对数表，对数表里的任何数字要么他记忆了下来要么他可以轻易地心算出来。对于今日的数学来说，心算能力显得并不是那么重要，各种各样的计算器，计算机和软件可以替代我们做各种各样的运算，不过对于青少年来说，超强心算能力也许可以被看做数学天赋的一种表露。

欧拉在31岁的时候就失去了右眼的视力，左眼在60岁的时候已经只剩下一小部分视力，到68岁完全失明。就像失去听觉的贝多芬可以完全不受外界杂音的干扰，只聆听来自他内心的声音一样，失去视力的欧拉，变得对自己头脑里那些计算更为敏锐，在最后失明的八年里，他的效率更高了，前面说过他完成了一生中一半的著作。如果欧拉一生只有少量的著作，那么一半也没有多少，可事实正好相反，欧拉是历史上著作第二多的人，一共有886本书籍和论文，而且他64岁时的一场大火烧毁了他当时的全部手稿，否则会有更多的著作。这个记录直到二十世纪才被匈牙利数学家保罗•埃尔德什打破。

除了数字，还有两则故事可以看出欧拉的多产，当欧拉在圣彼得堡科学院工作的时候，他把完成的论文堆成一摞，每完成一篇就把新论文放到最上面，每当科学院学报需要出版的时候，印刷工人就会取走最上面的几篇，所以欧拉论文的出版顺序并不是他写作的顺序，有时候欧拉对一个问题写了一系列的论文，结果后面的先发了，后面一期反倒发的是之前的结果，更为夸张的是，在欧拉死后80年，圣彼得堡科学院还在发表他的论文。在1909年的时候，瑞士科学院试图整理收集并出版欧拉全部的著作，为此筹措了8万美元，在当时已经是一笔巨款了，结果因为在圣彼得堡科学院又发现了欧拉的大量手稿而告吹。

欧拉是一个可以在任何环境任何条件下工作的数学家，他一共有过13个子女，据说他写论文的时候可以把最小的婴儿放在腿上，让其他大一点的孩子围着他玩。这一点是我最羡慕欧拉的地方，我目前每天只负责在几个特定的时间段哄我女儿入睡，而我除了抱着她以外，什么也干不了。不过有一点是我想要指责欧拉的，这13个子女只有五个长大成人，可能有疾病或者什么其他因素，作为父亲的我实在是无法理解。

欧拉还有一个很大的贡献就是在数学的推广与教育上，包括第一次引进介绍一些符号如圆周率π，自然对数e,虚数单位i, 正弦sin,，余弦cos,求和符号Σ和一般函数f(x)。

而且欧拉的文学功底很好，写起东西来文辞优美，他为了向腓特烈大帝的侄女，安哈尔特-德始公主介绍数学,力学,物理光学,天文学等课程，他给公主写了一系列的信件作为教材，后来这些信件编辑成《致一位德国公主的信》，号称世界上第一本科普读物，被印成了7种文字的单行本。

1783年9月的一天，欧拉在喝着茶跟孩子玩的时候，中风发作。手中烟斗掉了，只说出一句话“我死了”。“欧拉便停止了生命和计算。”（he ceased to calculate and to live）法国数学家孔多塞如是说。

最后我想用世界上最美数学公式，完美结合了π，e，i的欧拉公式的一个特例来结束这章。

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柯西的这个名头有点大,虽然柯西的贡献毋庸置疑,第一人并不是指柯西对现代数学的贡献,而只是他出现的时间。如同从文言文到白话文,即使有新文化运动的推波助澜,改变也并非一夜之间,数学发展绝对是一个连续而非离散的过程,因此我们不可能用历史上的某一天划分数学。柯西与三L都有着或多或少的交集，他的一生的大部分时间与高斯重叠，他的数学成就毫无疑问是建立在众多前辈所打下的基础之上,但仅就今天数学严谨的形态而言，可以说柯西是把这种严谨带入数学的第一人。比如说极限的概念,毫无疑问牛顿,莱布尼兹,拉格朗日,高斯都理解这个概念,可是如果让他们给完全不懂数学的人去讲解这个概念很可能只是挑战他们自身忍耐的极限。柯西是第一个给出极限严格定义的人，虽说并不是现在通用的epsilon-delta语言(这个定义将在几十年后由号称现代分析之父的维尔斯特拉斯给出),但是在数学思想上已经与现代定义基本一致了。有个这个定义，无法理解牛顿，莱布尼兹，拉格朗日，高斯解释的人八成还是不能理解这个定义，好处就是他们可以记住这个定义并且相信自己理解了这个概念。这种情况至今还经常出现在理工科学生的课堂里，当他们看到求导公式的时候，一切对极限的困惑立马烟消云散，他们要做到的只是记住这些公式和知道如何使用这些公式，殊不知所有这些公式都来自于他们的极限定义。对于一个把汽车作为代步的人来说，没有必要知道哪怕一丁点关于制造汽车的理论，对于一个仅仅把数学当做工具的人来说，也没有必要完全理解那些抽象的定义，可对于为他们制造合适的数学工具的人来说，这些严格的定义才是整个理论发展和完善的基石。柯西的贡献远不止这一点,个人认为其中最伟大的是开启了抽象化数学的先河。首先数学一直是很抽象的，你可以把几何图形的面积抽象成定积分，你也可以把一种物理状态抽象成一类微分方程，但是出发点都是具体的实际问题。而柯西在已经抽象的基础上又抽象化了一次，定义了一种结构，而不限定结构内的元素属性。他对任何满足这种结构的集合做了初步的研究，也就是群论的基础。抽象化有一个好处就是更加普世，也有一个坏处就是更加“难懂。”我个人倒是认为很多抽象的定义其实很自然，相比于需要大量计算的分析，我更喜欢代数这个相对抽象的分支。

数学到此为止，还是让我们看看有什么卦可以八，有什么情可以煽。（再次感谢“歪写”这个无敌挡箭牌，让我可以在数学这个严肃的题目下做娱乐性的叙述，如果有一天还觉得不过瘾，我可能会换上“胡写”的防弹衣。）

柯西从自己的家庭里继承两样对他一生包括学术生涯都有影响的东西,一是对于天主教的虔诚,二是对波旁王朝的忠心。很多数学家都有自己的信仰并且很虔诚，比如牛顿，一直是上帝的崇拜者，晚年热衷神学；再比如欧拉，父亲是牧师，相信他失明的时候支撑他的不单有数学，还有信仰。但是柯西的虔诚显然超过了他们，并在某种程度上影响了他对科学的判断,这个我们稍后会提到，先让我们看看柯西的身世。柯西的父亲是波旁政府里的一名议会律师,同时也是巴黎警署的一名中尉,这样的家庭背景在大革命时期能够保住性命就已经是很幸运的了。老柯西带着全家逃到了乡下一个叫Arcueil的村庄，并开始了长达十余年的隐居生活。柯西的童年不是那么幸福，家里吃不饱穿不暖，外面所有的学校都关闭了,有文化的人被大批的送上断头台,看起来柯西即不可能也没有必要接受任何教育。幸运的是，柯西有个好爸爸，他自己编写了教材来完成对孩子们的教育,特别是为了培养孩子们的兴趣,有几本教材是用诗歌体写成。在学习自然科学知识的同时，小柯西也领略到了文学和诗歌的美,并且此后一生都痴迷于法文诗和拉丁文诗。此外，柯西一家还有一个值得一提的邻居，就是在大革命里如鱼得水的拉普拉斯。尽管拉普拉斯不是什么道德模范，但是他有一个优点就是喜欢交际而且平易近人。很快拉普拉斯就在他贫穷的邻居家里看到了营养不良的柯西，并且发现了他的数学才能。拉普拉斯没有想到的是这种才能在几年以后会让他惊出一身冷汗,差点心脏病发作。

十八世纪的最后一年，大革命终于结束了，老柯西得以重新回到巴黎工作,作为上院秘书的他在卢森堡宫里有一间自己的办公室,而少年柯西也把自己的书房搬到了这间办公室，于是他会经常见到老爸的一位同事，巴黎综合工科学校的数学教授拉格朗日。和拉普拉斯一样,没过多久,拉格朗日就发现了柯西在数学方面的与众不同,并且当众夸奖柯西道,“作为数学家的我们迟早要被这个瘦小的年轻人取代。”拉格朗日年轻的时候曾因为过度劳累，饱受疾病的困扰，看到柯西瘦弱的身体，他给了老柯西一个很特别的忠告，“在十七岁之前，多对柯西进行文学方面的教育,而不要让他接触任何数学书籍。”老柯西很好的完成了这个任务,从十三岁进入学校开始,柯西就用法语,希腊语,拉丁语在五花八门诗歌和作文比赛里折各种桂,独占不同的鳌头，很快成为学校里的明星, 除了不会开车，整个就是一个法国版韩寒。

二十二岁的时候,柯西在拉格朗日的鼓励下,发表了关于正多面体的一系列论文来回答当年巴黎科学院的金奖题目。作为审稿人之一的勒让德对论文给予了高度评价，并预言柯西在数学方面必有一番作为。至此，柯西得到了三L的一致肯定。不过另外一个审稿人马吕对柯西所使用的方法持怀疑态度,虽然马吕在数学界不是什么大人物,但是他的怀疑在一百年以后被证明是有道理的。柯西的论文并没有获奖,但是里面有一个关于一个多面体的面数(F),边数（E）和顶点数(V)的简洁而优美的结论，E+2=F+V。这个公式是欧拉首先发现的，柯西重新发现推广了它并给出了一个严格的证明。

二十六岁的时候柯西因为证明了费马留下的一个困惑大家已久的定理而引起轰动同时也把他带到当时第一流数学家的行列。这是一个数论的定理,在叙述它之前,先让我们定义一下三角形数,平方数,五边形数,……。所谓三角形数就是可以将这个数字那么多的点排列成一个等边三角形。比如1,3,6，10……。6个点组成的等边三角形有三行，分别是一个点，两个点和三个点。平方数很明确就是某个整数的平方，比如1,4,9，……。几何上，平方数个点可以被排列成一个正方形。相似的,我们可以定义五边形数,六边形数(如图)



这个定理是这样的,任何一个正整数都是三个三角形数的和,四个平方数的和,五个五边形数的和,……,n个n边形数的和，有一点要注意就是0和1属于所有这些类型。这个定理看起来并不难,但是欧拉,拉格朗日和勒让德都被难住了,高斯也只证明了三角形数这一个情形。

二十七岁的时候柯西成为法国科学院院士。这件事在当时引起了非常大的争议，倒不是因为柯西不够资格，而是因为他的院士席位是从蒙日手里接过来的。这个故事说来话比较长,我这里就短说一下吧。蒙日是十八世纪法国的一位数学家，他最突出的贡献是发明了画法几何，也就是如何把三位图形画在二维的平面里,如今这个技术只是高中几何里面一个必备的技巧,但在发明之初,这个并不复杂技术为简化和直观化许多复杂的制图带来了革命性的突破。有两个小故事可以看出蒙日的为人。有一次蒙日参加一个聚会时听到一个贵族因为遭到拒绝而在说一个寡妇的坏话,蒙日既不认识这个贵族,也不认识那个寡妇,但是蒙日从人群中挤过去给了贵族下颚一拳。几个月后蒙日在另一个聚会上被一位少妇吸引,经人介绍,这位少妇竟然就是蒙日打抱不平的主人公,于是他们顺理成章地开始了幸福的生活。三十四岁的时候蒙日被任命为海军军官候补生资格考试的主考官以接替去世的前任主考人,海军部长要求他重新编写一部教材,但是蒙日拒绝了,理由是当时使用的教材的版税是前任主考人遗孀的唯一收入。蒙日出生于一个贫民家庭，父亲是个磨刀匠，所以在大革命期间，蒙日毫不犹豫的支持革命党人，并与拿破仑成为了好友。蒙日对拿破仑的忠诚不是出于对名誉和金钱的渴望而是出于对自身阶级的忠诚。当拿破仑被流放的时候,蒙日依然没有改变他的忠诚,百日王朝结束后,蒙日拒绝效忠波旁王朝,这就回到了本段开头那一幕,于是蒙日从科学院院士的名单被除名了,而号称要把科学与政治分开的其他院士集体沉默,这件事在当时的法国引起不小的反响,很多人声援蒙日,就是在这种情况下,柯西接替了蒙日。应该说柯西是当之无愧的，但因为政治的原因,柯西得到了一些非议,实际情况是,柯西是蒙日最好的继承人,在忠诚方面,再没有一个人能像柯西这样，如此地接近蒙日了。

现在来说说柯西让拉普拉斯惊出一身冷汗的发现吧,关于无穷级数收敛的定义和判定。一个简单的例子 1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+x^4……,这个等式并不是什么时候都成立，比如说x=2的时候就不行，现在我们都知道原因是右边的级数在x=2这一点不收敛。柯西是第一个给收敛进行严格定义的人，并给出了一些判别方法。拉普拉斯在他的巨著《天体力学》里使用了很多无穷级数进行计算，但是他本人并不知道还有收敛这一回事。但是一个数学家的直觉救了他,在用柯西的方法验证了所有他使用的级数都是在收敛的情况下时,他长长的松了一口气。

作为一个波旁王朝的坚定支持者,柯西在王朝复辟以后得到了不计其数的荣誉,除了科学院院士,还是巴黎综合工科学校,法兰西学院和索邦大学的数学教授, 他在欧洲的声誉甚至超出了高斯。然而在四十岁的时候,王朝的结束让这一切戈然而止。宣誓过效忠查理的柯西自动放弃了这一切,离开了妻子和两个年幼的女儿,离开了法国,过起了流浪的生活。他先去了瑞士,打算找一个能继续发挥他才能，并忘记烦恼的工作。不过没过多久，意大利国王听说柯西正在找工作，就邀请他到都灵做数学教授,柯西非常高兴,并展现了他的另一方面天赋,很快的学会了意大利语,然后开始用这种语言在都灵授课。

漂泊了十年之后，柯西回到巴黎，回到了科学院，并在计量局找到了工作，但由于他坚持不宣誓效忠当时的政府，为了工作他不得不与政府展开了一场旷日持久的战争。应该说胜利属于柯西，凭借一封公开信，柯西取得了广大人民群众的支持，也得到了政府的默许，在此后无论政府如何改变，柯西始终忠于他宣誓过的查理。柯西与蒙日出身于不同的阶级，虽然我们很难分辨哪一个阶级更正义，他们都从始至终的忠于自己的阶级，从道德的角度来说，他们一样的高尚。

和欧拉一样，柯西是一个高产的作家，他一共有789篇论文，其中不乏几百页的长篇大论。在那个年代，出论文是要自费或者学校掏钱的，而他不但产量大而且还有作文大赛冠军的底子，动不动就是上百页，弄得科学院学报成了他自己专刊似的，于是学报几次更改投稿规则就来限制柯西，他的很多论文也因此在当时迟迟不能发表。柯西后来实在不过瘾，就自己创办了一个刊物，专门发表自己的论文，据说销量还不错。

柯西一生被人诟病的是他过于虔诚的信仰，三句话不离主基督耶稣，要是你想跟他讨论或者向他学习任何数学知识，那么你就得先忍受他的一通传教。而且他将这种态度带到了科学领域里，比如他当评审的时候，不光看作者的数学水平，还要给天主教徒附加分。这一点在他晚年的时候更为突出。有道是皇天不负有心人，在柯西孜孜不倦的努力下，终于成功的把福音传给了埃尔米（Hermite）,让天堂里又多了一位数学家。

让我们用柯西生命中的最后一句话作为本章的结束语，“人们走了，但是他们的功绩留了下来。（Men pass away but their deeds abide）”

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已经第十六章了,我终于可以荣幸的介绍这个系列中的第一位女性主人公,来自时尚之都同时也是数学家聚居地法国巴黎的---苏菲﹒热尔曼。在本章中我将用first name苏菲而不是last name热尔曼来称呼这位数学家，一是为了特别的尊敬，二是希望苏菲这个女性化的名字可以时刻提醒大家她的与众不同。


阿基米德聚精会神的在地上勾画着几何图形,对闯进来的罗马士兵充耳不闻,在用几种语言提问都没有得到任何回答后,罗马士兵被阿基米德的狂傲彻底激怒了,于是挥刀向这位伟大的数学家砍去……,看到这里，小苏菲害怕的扔下了手里那本叫做《歪画数学史》的卡通，不过她的大脑并没有停下，阿基米德所研究的叫做数学的东西难道会比巴黎满城的鲜花更迷人，比伦敦最新款的礼服更美丽吗？他怎么能连死都不怕了呢？


正在这时，苏菲的房门打开了,巴黎银行的董事长长弗朗索瓦﹒热尔曼走了进来,一天忙碌的工作后,他最大的愿望就是能看到他那聪明美丽的小女儿。看到爸爸走了进来，小苏菲眨着她那双清澈的大眼睛问道：“爸爸，我能做任何我想做的事吗？”

“当然，你是全巴黎最美的小公主，也将是最耀眼的明星，只要你愿意，爸爸都会帮你实现的。”

“好吧，我要学数学。”小索菲很坚定的说。

“哈哈, 好的。”老热尔曼笑的很开心,他知道用不了几天小苏菲的兴趣就会转移到别的地方，也许是一匹纯种的波斯小马驹，或者是一件精致的中国瓷器，他从没真正想过除了变成一个上流社会温柔典雅的淑女，苏菲还能成为什么人。


时光荏苒还是白驹过隙，四十年后一个的夏天， 苏菲躺在一张洁白的病床上, 床头是一束洁白的百合花和一本《算数研究》，是的,不论在什么时候怎么能没有这本她最爱的书呢。

千里之外,这本书的作者,站在哥廷根大学的大讲堂里,大声的咆哮着,质问着所有人, “你们谁认为自己比她更有资格得到博士学位? 你们谁能够绕过她的贡献而在费马大定理的证明上前进一点点? 你们谁的贡献能够与她在弹性力学里的贡献相比? 除了她是个女人,你们还能找出任何不授予他学位的理由吗?”没有人见过一贯沉默的他如此激动,没有人见过一向沉静的他如此动容,他就是哥廷根唯一的王子,高斯。“如果你们不授予她学位，那么高斯将永远的离开哥廷根。”离开讲堂前，高斯撂下的最后一句话。能让王子战斗的只有公主,躺在病床上的苏菲。


十八岁的苏菲婷婷玉立,在她的生日派对上光彩夺目。在一众衣着华丽侃侃而谈的年轻人中间,她身上若隐若现的智慧光芒将她映照的分外醒目。老热尔曼注视着女儿的一举一动，作为一个父亲，不知道为什么总是为了女儿聪明的头脑而隐隐担忧。与此同时，注视着苏菲的还有一个叫马里安.帕尔内蒂的年轻军人,他已经开始为苏菲的美丽着迷,然而他不知道无法理解苏菲智慧的人也无法征服苏菲。老热尔曼缓缓走到苏菲面前，“亲爱的，今天我可以满足你任何要求，我可以为你定制巴黎最奢华的马车，或者给你买下巴黎郊外的一座庄园。”

“不，我只想到巴黎综合工科大学读书。”

老热尔曼的思绪一下飘回五年前的那个夜晚，这五年来苏菲坚持不懈的学习数学并深深为之着迷，他也请来了几个家庭教师，每次不出半个月，家庭教师们便表示无法再指导苏菲了。他也试着请一些真正的数学家来授课，但不论多么高的报酬，当听说学生是一位女性的时候，他们都委婉的拒绝了。

“这，……。”老热尔曼不知道怎么回答这个问题，他并不希望女儿成为一个数学家，但是他能理解女儿的选择，并且尽一切努力去支持她。

马里安现在觉得自己是世界上最幸福的人，他和苏菲订婚的消息已经传遍了巴黎的大街小巷，帕尔内蒂公爵的长子，年轻有为的军官将要迎娶巴黎银行董事长的小女儿，大家都在谈论着这让人羡慕的一对儿。马里安手里依然攥着刊登着他们订婚消息的报纸，心里一边想着他们的孩子将会多么的可爱，一边期待着将要到来的见面。

还是那个马里安，骑马飞驰在巴黎郊外的大路上，不停的鞭策着胯下的那匹白马，他现在唯一所想的就是用速度甩掉他心中一切的郁闷。他拔出了腰间的火枪，将路边田间一个稻草人的南瓜头击的粉碎，然后仰天长啸。为了苏菲，他不惧怕欧洲最强壮的战士，他可以和最快的枪手决斗，可是数学，阿基米德，牛顿，这些看不见的敌人让他无法战胜。他花了一个下午的时间，可还是说不出100以内的所有素数，而这些似乎是苏菲唯一永远不厌倦的话题。

马里安静静望着窗外漆黑的雨夜，十年了，他已经从一个波旁王朝年轻的少尉变成深受拿破仑宠爱的将军，明天就要出征去普鲁士了，除了对妻儿的不舍，心中总还有一丝牵挂不知是为谁而留。雨夜的宁静被几声清脆敲门声打破，门外站着的是一袭白衣的苏菲，如同十年前一般的脱俗清丽，只有最细心的人才能发现在她的眼角多了几分忧郁少了一点明媚。

“你，……”这出人意料的来访让马里安说不出话。

“帕尔内蒂将军，请原谅我的冒昧来访，我知道您明天就要踏上去普鲁士的征程了，我只想请您满足我一个小小的要求。”苏菲仿佛失去了平静，急促的说完这些话，静静等待着回答。

“当，当然。”马里安已经完全不知所措了。

“请您和您的大军一定不要伤害一个叫卡尔•弗里德里希•高斯的人。”

“What？Who is this guy?”望着渐渐远去的背影，马里安觉得自己仿佛置身梦境。

背景音乐缓缓响起，

“如果那两个字没有颤抖
我不会发现我难受
怎么说出口  也不会是分手

如果对于明天没有要求
牵牵手就像旅游
成千上万个门口
总有一个人要先走

怀抱既然不能逗留
何不在离开的时候
一边享受一边泪流

十年之前
我不认识你  你不属于我
……”



“什么? 退婚?”老热尔曼几乎不敢相信自己的耳朵。

“是的，热尔曼小姐已经有了她自己的意中人了。”帕尔内蒂公爵说。

“怎么可能？谁？”

“数学。”

老热尔曼瘫坐在沙发上不再发一言。是的，苏菲爱的是数学，可是退婚对于一个十八岁的大姑娘来说是一件多么羞辱的事情啊，苏菲怎么承受这一切呢。和订婚一样，退婚甚至更快的成为各种大小报的头版头条。

看着老热尔曼的闷闷不乐，大管家王富贵凑了上来 “老爷，要不要小的找几个人给小姐出出气，在江湖上小的也有几个朋友。”

老热尔曼一个巴掌扇飞了王富贵“你懂个屁，人家儿子是正规军！”


“报---，报---，老爷，好消息。”王富贵兴冲冲地从外面跑了进来。

“怎么如此慌张，有话好好说。”

“老爷，小姐上学的事有眉目了。”

“果真？”

“小的我有个远房亲戚去年捐了个巴黎综合工科大学的名额，可这小子整天游手好闲，不想念了，现在转让。”

“好，好，赶紧去办。”

“老爷，人家是有偿转让。”

“要多少？”

“纹银300两。”

“去账房支350两。”

“谢老爷！”


巴黎香榭丽舍大道，新龙门咖啡店二层包间。

“我说勒布朗，你也不打听打听，乱TM的要价，我家老爷说了，100两，成就成，不成拉倒。”

“别呀，王总管，我那可是花了200两买的，您好歹再添点。”

“得，那回见了您的。”

“慢着慢着，是现银吗？”

“立等可取。”

“哎，要不是等着用钱，您可捡不着这便宜。不过您可转告这位爷，得用心学，上学期挂了3科，再挂学籍就没了。”

“这你就别TM瞎操心了，是个人还能学的比你差。”

这是一封德文信，即使精通德文的人也会觉得无聊透顶，因为里面净是些无法理解的符号和运算，可苏菲已经记不清是第几次读这封信了。她没想到这么快就收到了回信，而且信里对她给出的方法给予了充分的肯定，还给了她一些建议。没想到即使以勒布朗这个nobody的名字给一向以骄傲闻名的高斯写信，他也会这么用心的回复。虽然高斯的信并不是真正写给苏菲，甚至都不知道和他通信的是一位女士，但在苏菲眼里，这分明就是一封用符号和公式写成的情书。

老热尔曼看到苏菲的笑脸，也为她高兴了起来。上一次见到苏菲如此开心还是几年前当她得知可以去巴科大上学的时候。不过他心里知道当苏菲的梦想越来越近的时候，自己的心愿也越来越远。

拉格朗日坐在他宽大的办公桌前正在思考着他一生中最大的谜题。这个叫勒布朗的学生上学期还如同木头一样不能理解最基本的定义，怎么这学期的每次作业都闪耀着智慧的火花呢？特别是那几道附加题，他的答案优美而富有创造力，完全可以发表在任何一本数学杂志上。更奇怪的是，他这学期从没来上过课，只是让仆人来领取课堂笔记和作业。拉格朗日百思不得其解，难不成是拉普拉斯这个老狐狸故意耍我，这家伙整天想着三L的排名顺序，去年愚人节就企图制造我上厕所时证明出费马猜想因为只带了一张纸所以没有记下来的谣言污蔑我，我绝对不能上当。于是拉格朗日给勒布朗写了一封要求见面讨论问题的信。

拉格朗日走在通往新龙门咖啡二层包间的台阶上，心里捉摸着这位勒布朗葫芦里买的是什么药，怎么就不方便在学校见面呢？西门外的烤翅现在据说也供应咖啡了。一进屋，拉格朗日傻眼了，难不成拉普拉斯使美人计？这本下的有点大，那我到底要不要将计就计？

苏菲腼腆的解释了一切，“请您原谅我不诚实的行为，我只是想跟您学习数学。”

“热尔曼小姐，我理解你的行为，而且你是一个出色的学生，但巴黎综合工科大学不欢迎女性。”

勒布朗的作业依旧准时出现在拉格朗日的办公桌上。这次拉格朗日并没有给勒布朗和其他学生相同的作业，而是几道很有难度的题目，勒布朗的答案无懈可击，拉格朗日犹豫了，她有兴趣有才华，为什么不能学习数学呢？

拉格朗日不知道今天到底开的什么会，学术委员会和人力资源部的人都在，这两拨人平时可是打死不相往来的。还是HR主管先打破了沉默，“拉格朗日先生，听说您已经成功的把巴黎社交圈的名媛带到了学校的校园里。”

“不，她只是一个优秀的学生。”

“我们需要证明。”

“这些都是她的论文。”

“对不起，拉格朗日先生，我们不能相信这些论文出自一个女人的大脑。”

“什么？你们这是对她和对我人格的侮辱，她比现在学校里所有的学生都优秀。”

“我们必须要验证您所说的，请她准备参加一个听证会。”

“你们这是无理取闹！”

九年的时间足以改变一个人的样貌，理想甚至性格，却无法改变苏菲对数学的爱。这份爱不但带走了苏菲的全部精力，也带走了她的心。在她的世界里只有她和数学。九年来她一直跟随着拉格朗日学习，直到有一天，拉格朗日说“我已经不能给你更多，全欧洲只有卡尔•弗里德里希•高斯才能助你更近一步，去找他吧。”
     
她知道她的时间不长了，她想起了在巴黎综合工科大学图书馆里度过的每一个清晨，想起了高斯写给勒布朗的每一封信，想起了那次听可笑的听证会，想起了热尔曼素数诞生的夜晚，想起了科学院酒会上称她为夫人的那个鲁莽的年轻人泊松，想起了与她擦肩而过的马里安，想起了爱她支持她的父亲，……终于闭上了双眼。

其实高斯不必纠结于一个名誉博士学位，苏菲已经不需要任何学位去证明她了。我不知道该如何结束这一章，苏菲选择了数学这条她生命中最艰难最孤独的路，她在数学上的成就无法与我们之前所提到的任何一个人相比，但是她迈出的每一步都是她用她的一切与命运抗争的结果。“未婚无业妇女”是苏菲死亡证上的身份，也是人类历史上永远的耻辱。除了最崇高的敬意我已再无他言。

dreamer

只要真理---罗巴切夫斯基（Никола́й Ива́нович Лобаче́вский）


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即使目前为止的出场人物里超过半数来自法国, 我依然跳过了如帕斯卡, 傅里叶,彭赛列,泊松这样伟大的名字。当我再次审视巴黎这座时尚之都的时候, 只有戴上墨镜才能不被那一道道比 Hermes, Chanel, LV, Gucci, Dior, Cartier 还要闪亮的星光晃晕。

让我们暂时逃离巴黎太过浓密的数学空气, 跟随拿破仑东征的大军, 到世界上最幅员辽阔的国家去寻找那严寒之中的星星之火。如果你熟悉历史，和拿破仑一样在俄罗斯吃尽苦头的还有希特勒, 任何不够尊重这个国家的人都受到了惩罚, 在数学史上依然没人能忽略这个庞然大物, 即使与法德相比丝毫不占上风, 但是三足鼎立的局面一直维持到二战后美国的异军突起。还没有完成购物计划的读者不用着急, 用不了多长时间, 我们就会被一个叫伽罗华的年轻人带回到巴黎一个阴暗的角落。再往后还有一个叫庞加莱的通才在向我们招手。

冬季的俄罗斯寒冷而宁静, 当拿破仑的大军冒着零下二十度的严寒从莫斯科撤军时,让我们继续沿着冰冻的伏尔加河向东前行。此时的河岸上早已没有了夏天的热闹, 除了偶尔能看到几只纯白的萨摩耶拉着雪橇在雪地上欢快的奔跑, 就连最吃苦耐劳的纤夫们也各自躲在熊熊燃烧的火炉旁,喝着世界上最烈的烈酒。离开莫斯科已有八百公里，欧洲大陆的繁华与硝烟早都消失的无影无踪, 伏尔加河仿佛突然找到了新的方向，从东西流向骤然拐了一个90度的大弯，一头向南方的里海扎了下去, 就在这个拐角的东北岸,静静的屹立着俄罗斯的三大历史名城之一---喀山(另两座为莫斯科和圣彼得堡)。在这里，本章的主人公将度过他一生中绝大部分时光，并用自己毕生的心血把喀山国立大学带到俄罗斯顶级大学的行列。

柯西有一个伟大的父亲, 罗巴切夫斯基则有一个伟大的母亲。在七岁的时候, 罗巴切夫斯基失去了父亲，他的母亲独自承担了抚养三个未成年的孩子全部责任并很好的完成了任务。罗巴切夫斯基14岁进入喀山大学，18岁拿到硕士学位, 21岁助理教授, 23岁教授, 34岁校长,……, impressive? 跟大多人比是的，但是如果你还记得在这个系列前几章出现的主人公们,这只不过是一个典型的天才成长史。当然成长总会有代价，天才也并不例外。

硕士答辩并非一帆风顺，罗巴切夫斯基的青春活力引起了几个所谓“权威”的羡慕嫉妒恨，以他太年轻为借口拒绝授予他学位。经过一番争持后，才在德国教授的支持下通过。这件事也揭开了罗巴切夫斯基这一生中在追求真理的道路上与各种各样“权威”斗争的序幕。顺便提一下， 当罗巴切夫斯基入学的时候喀山国立大学成立还不到三年，为了提高学术水平，从德国请了几名杰出的教授，包括后来奥地利天文台台长利特罗(Joseph Litrrow)和高斯的朋友数学教授巴蒂尔。

助理教授的职位实际上是接替因病不能工作的哥哥，由于优异的表现，两年之后就晋升为数学教授。由于师资力量的匮乏和罗巴切夫斯基的多才，天文学和物理学也被划到了他的授课范围内。没过多久，罗巴切夫斯基又升职了，这次是大学图书馆馆长兼博物馆馆长，听起来是个闲职，可以每天泡泡茶，看看报，聊聊天，做点自己想做的事，但是就只有一个问题，这两个地方所有工作人员加在一起就只有一个人罗巴切夫斯基自己，所以不但是馆长，还是副馆长，工会主席，党委书记，图书管理员，博物馆导游，勤杂工和保洁员，总之一切工作都由他一个人完成。而他不负责任的前任给他留下的完全是个烂摊子，图书馆的书都是随意的码在书架上，没有分类，没有编号，所以想借书的人只有自己在茫茫书海里寻找；而博物馆完全就是个大仓库，所有东西都乱七八糟的堆在一起，有时候甚至不能分清是垃圾还是藏品。罗巴切夫斯基没有怨言，只是默默的开始了自己的工作，将图书分类，编号，制作目录，重新码放；将所有藏品清理干净，摆放整齐。

日子一天一天过，我们在慢慢长大，我不管你懂不懂我在干什么……。终于事情有了转机，一位总是故意刁难喀山大学的大人物被反腐尖兵，他所包养的一名二奶给举报了，于是喀山大学有了一位新的专职图书馆兼博物馆馆长和一位新校长---罗巴切夫斯基。

他对学校进行了一系列的改革，首先改良了师资队伍，然后建立了一个工厂用于制造科学实验的仪器，又建造了一个天文台。为了节省经费和满足高标准的要求，罗巴切夫斯基自学了建筑学，设计了工厂和天文台，并且参与了施工。在学校的日常生活中，即使已经成为了校长，我们还是可以经常看到他到图书馆修补破损的书籍，到博物馆里整理日益扩大的矿石收藏，给动植物标本除虫，甚至脱去外套在室外从事体力劳动。一次一位外国游客到喀山大学参观，看到这位校长正好修剪完校门口的一片草坪，把他当成了一个学校的工人，并请罗巴切夫斯基带他参观一下大学校园。罗巴切夫斯基给了他一个非常满意的旅程，图书馆，博物馆，天文台，工厂，对每一个地点都了如指掌，当然，都是他亲自布置或建造的。这位游客非常满意，在旅程结束之际给了罗巴切夫斯基一笔丰厚的小费，当然这笔钱被罗巴切夫斯基生气的拒绝了。这位客人当时并不理解这个工人为什么会对小费表现出愤怒，不过很快答案就揭晓了。二人在州长的晚宴上又碰面了，而且被安排在了同一桌，客人对校长表示了歉意，而校长也愉快的接受了。此外罗巴切夫斯基还强制性的改变了学校的全体员工和家属的卫生习惯，成功的躲过了肆虐的霍乱。

在如此繁忙的日常事务当中，罗巴切夫斯基还有时间做研究吗？虽然我不知道他是怎么做到的，但答案是肯定的。作为非欧几何的创始人，他所创造出的几何世界现在已被世人认可，但是在他的有生之年，他的研究带给他的不是荣誉和掌声，而是非议与挖苦。

这个故事有点长，要了解他的研究，我们必须先要回到二千多年前的希腊, 看看欧式几何的诞生。“It was a warm summer evening in ancient Grace……。”Ok，我不是Sheldon，你也不是Penny，所以还是长话短说。之所以有欧式几何（Euclidean Geometry），是因为古希腊数学家欧几里得编写了一本广为流传的经典几何著作《几何原本》。从此几何分两种，一种是欧几里得几何，简称欧氏几何，也就是我们常见常用，在初中就学过的几何；其他所有不是欧氏几何的几何统称为非欧几何，其中包括罗巴切夫斯基所创立的罗氏几何。

《几何原本》包含了五个几何公理和二十九个定理，这五个公理分别是

1.过相异两点，能作且只能作一直线（直线公理）。
2.线段(有限直线)可以任意地延长。
3.以任一点为圆心、任意长为半径，可作一圆(圆公理)。
4.凡是直角都相等(角公理)。
5.在一平面内，过直线外一点，可作且只可作一直线跟此直线平行（平行公理）。

靠！这不都ＴＭ的废话吗。现在知道欧几里得牛的地方了吧，能把废话写成经典，而且得到了大家的一致认同。但是你有没有觉得其中一条和其他四条不一样呢？第三条？恭喜你，我们有希望看到又一个非欧几何的分支诞生了。

初中几何老师在证明任何定理之前，一定会告诉你有两种东西不用证明，一是公理，二是定义，我们以他们为出发点去证明其他结论。定义并非结论，而只是描述事实的陈述性语言，所以不存在需要证明的问题。于是我们金碧辉煌的几何大厦就建立在五块板砖的地基之上。在《几何原本》的二十九个定理里面有二十八个定理可以由前四条公理得到，只有一个命题需要用到第五公理。据说欧几里得本来也只写出了前四条公理，到那个需要第五公理的命题时发现需要这个结论，于是他先试图证明第五公理，证不出来又要用怎么办呢？于是把它放到公理里面作为不需要证明的结论。

此后二千多年欧式几何在这五条公理的基础上被进一步发展，也有许多人试图从前四条公理推出第五条公理但是都没有成功。罗巴切夫斯基也是从这个问题入手，不过他没有直接从前面四条公理出发去证明第五公理，而是用了反证法，即改变第五公理然后试图找出矛盾，从而证明第五理隐含于前四条公理。让我们再来看看第五公理，“在一平面内，过直线外一点，可作且只可作一直线跟此直线平行。”与此相反的有两个可能，一是过一点可以做多于一条平行线，二是没有平行线。罗巴切夫斯基选择了第一个可能。但是他惊奇的发现，这种假设没有任何矛盾反而建立了一个新的理论体系，罗氏几何。（第二种可能将在几十年之后引发另一种非欧几何---黎曼几何。）从某种角度来说，数学就是一个严格的逻辑游戏，任何人都可以通过若干个公理开创自己的理论系统，当然这些公理需要满足两个条件，第一不互相等价，第二不互相矛盾。最好还能来点实际应用，不过对于一个正确的理论体系来说，实际应用只是或早或晚的事。

我知道大家很难想象通过一点做多于一条与已知直线平行的直线的情况，这与我们大多数人的经验无法统一。我不想解释任何理论，因为没有比理论本身更好的解释，只希望下面这个例子可以让大家有一点直观的认识。

首先让我们定义直线（线段）。在平面里有两个点，怎么定义通过这两点的直线呢，谁都知道沿着直尺画一条连接这两点的线段然后无限向两端延伸就能得到一条过这两点的直线。那么看看你能不能理解我下面这句话，“连接两点的直线段可以定义为连接两点的最短路径。”有了线段我们就可以扩展到直线。

在一个球面上怎么定义直线呢? 尺子已经派不上用场了,好在我们有了第二个定义,连接两点的最短路径然后延长。在一个球面上，对于任意给定两点，最短路径是过这两点的大圆在这两点间的那段劣弧。所谓大圆就是直径与球面直径相同的圆，如果你沿着大圆把球面一切两半，那么这两部分表面积是完全相等的。假设地球是个完美的球面，那么赤道是一个大圆，所有经线也都是大圆，也就是说他们都是球面上的直线。再来看看他们的关系，所有经线都和赤道垂直，与同一直线垂直的直线平行吗？他们又都交于南北两个极点。三观都毁干净了吧？

第五公理说的是平面，你这个是球面啊。第一，这个例子并不是罗氏几何的直观描述而之是它在现实世界里的实现；第二，球面可以变成平面啊。怎么变？巴巴变还是七十二变？如果我说有一个人每天都踩在一个球上，还能在上面翻跟头，倒立，你信吗？不管你信不信，反正我是信了，因为这个球叫地球。为什么你踩在这个球上，和你踩在一个足球上的感觉不同？说地球不用打气的，我强烈建议您马上报名参加脑筋急转弯大赛。真正的原因是因为地球太大了，所以这个球面对我们来说就像是一个平面。因此当一个球的半径是无穷大的时候，罗氏几何就成为了欧氏几何，二者又统一了起来。

虽然一直有人试图从这个仅有五块转的地基里再抽出一块，但是没人成功啊。这次罗巴切夫斯基做到了，一些“专家”“教授”露出了他们狂傲和无知的本来面目，楼塌了怎么办？你丫手里拎一板砖拍我怎么办？只有先发制人了，一时间板砖横飞，罗巴切夫斯基只恨没早点发表论文，学校盖厂房和天文台都不用买砖了。殊不知罗巴切夫斯基虽然抽出了一块砖，又放回去一块金砖，让几何这座高楼可以向更宽广的方面发展；用不了多长时间，这块砖还会被一个叫黎曼的人变成白金，从而使几何可以稳固地支撑一个叫作相对论的上层建筑。高斯是唯一一个理解罗巴切夫斯基的人，他本可以凭他的地位与威望为罗巴切夫斯基减掉相当一部分压力，但是这一次，他选择了沉默。

当罗巴切夫斯基的研究不被人们认可的时候，教育部也跟着添乱，在他勤勤肯肯地在喀山国立大学学习和工作了四十一年以后，无缘无故的解除了他的校长职务，就算他的研究不算成功，他的领导才能和工作能力也配的上校长。从古至今，不论何时何地都不缺少昏庸的官僚。双重的打击让他的健康受到了影响，晚年也和欧拉一样失去了视力，即使如此，他坚持口述完成了他的唯一的一部著作《泛几何学》，并把它作为五十岁的生日礼物送给了喀山国立大学，可惜的是即使是最尊重他的同事也把罗氏几何视为异端邪说。同一年，他也永远地离开了这个世界，最终没能看到为他平反的那一天。但是我依然相信罗巴切夫斯基有着快乐的一生，记得王小波说过“追求真理是人类最纯粹的乐趣”，而罗巴切夫斯基一定是找到了这种乐趣。

从因为支持日心说被执行火刑的布鲁诺，到因为非欧几何饱受非议的罗巴切夫斯基，再到因为尺缩时胀而家喻户晓的爱因斯坦，人类已经在一点点的进步。但是我依然要说，让我们给一切新鲜事物再多一点点包容和理解，也许真理就在其中。

dreamer

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当23岁的阿贝尔站在人来人往柏林街头，茫然无措的不知向左还是向右的时候，就在不远的柏林大学里，21岁的雅可比正在庆祝他刚刚获得的博士学位。在柏林的茫茫人海中，也许他们曾经擦肩而过，或许有过目光交错，可他们的命运就像是椭圆的长轴与短轴，虽然在椭圆的中心相交，但它们的方向却是大相径庭。

就在两年之前，一个叫做椭圆函数的东西将他们连到了一起，在完全不知道对方的情况下，他们各自开始了对椭圆函数的独立研究，并被公认为是椭圆函数论两个独立的奠基人。椭圆函数的出现让花费了勒让德半生精力的椭圆积分瞬间失去了大部分意义，当勒让德理解了这两位年轻人简洁而有力的发现时，给予了高度的评价。这份迟到的评价让雅可比如虎添翼，却只能成为阿贝尔的墓志铭。

椭圆函数和椭圆算是远房亲戚，它是在求椭圆弧长时出现的椭圆积分的逆函数。它在复平面上的双周期性可能用正弦或者余弦函数来说明会更简单一点。正弦函数是一个周期为2π的函数，如果你以2π为单位长度去切割实轴，那么在每一段上的函数图象都是一样的。你可以先在0的地方切一刀，然后0到2π为一段，这样做仅仅是为了美观，实际上每一段的起点和终点都无关紧要，只要长度是2π就行。下面我们来考虑一个定义在整个复平面上的椭圆函数，想象它的图像是一个覆盖整个复平面的曲面。再假设它有两个周期，一个实周期1和一个虚周期i，那么我们可以做一个正方形，四个顶点分别为原点（0,0），（1,0），（0，i），(1,i)，然后我们在这个正方形的上下左右再做四个一模一样的正方形，使得他们分别与第一个正方形共用一条边，一直这么做下去，我们可以用边长为1的正方形覆盖整个复平面，就如同给一张白纸打上了方格。所谓的双周期性就是在每一个小正方形上面的函数图象都是一样的。如同正弦函数，这些正方形的顶点位置并不重要，你可以从任意位置开始。双周期并不一定是一个实数，一个虚数，也不一定有一样的模长，更为一般的情形是两个复周期，然后划分整个平面的不是正方形，而是平行四边形。椭圆函数之所以重要，是因为它的出现拉开了19世纪数学的核心研究之一---单复变函数的大幕。

阿贝尔出生于挪威一个小村庄，父亲是村里的牧师，算是个文化人，母亲据说非常美丽，阿贝尔从父亲那里继承了聪明才智，而从母亲那里继承了漂亮的外表。除了贫穷，没有其他什么事情能够影响这个有着七个孩子的幸福家庭了，贫穷也不是他们一家的错，整个挪威当时都处在吃不饱穿不暖的贫困状态。雅可比的情况与此恰恰相反，作为一个成功的银行家的儿子，他的家庭相当富有，直到36岁时家族的破产，贫穷一直是一个和他毫无关系的词汇。

阿贝尔的数学天赋最早是被一个霍尔姆伯的数学教师发现的。作为一个数学工作者，霍尔姆伯并没有什么值得炫耀的天才，但是他有一双发现天才的眼睛。他们第一次相遇时，阿贝尔已经十五岁，相比于其他天才数学家，阿贝尔已经稍稍落后，但是阿贝尔追赶的脚步也是异常的迅速，在霍尔姆伯的悉心指导下，阿贝尔跳过了那些对他没有必要的入门课程，直接从牛顿，欧拉，拉格朗日的著作开始，到十六岁的时候，他已经读完了高斯的经典《算术研究》。阿贝尔总结自己迅速成为一流数学家的原因时说道，“向大师们学习，而不是向他们的学生们。”在和阿贝尔接触一年后，霍尔姆伯就认定挪威出了一位可以享誉欧洲的数学家，他们也从师生变成了挚友，并且从此在各方面，特别是在经济上，霍尔姆伯对阿贝尔进行了力所能及的帮助。19岁的阿贝尔靠奖学金和资助在奥斯陆大学拿到了初等学位。由于一年前父亲的去世，家庭的重担已经完全落在了他的肩上。他只有不停的教课挣钱养家的同时尽量用自己的业余时间去研究数学，好在他早已习惯了这种清苦的生活。

作为挪威最伟大的数学家，挪威从没有忘记过阿贝尔，在首都奥斯陆的皇家公园里伫立着他的雕像，那是一个无所畏惧的青年，在他脚下是两只被驯服的怪兽，一只代表椭圆函数，而另外一只代表的是五次方程。方程求解作为代数领域里最早的研究方向甚至可以追溯到公元前两千年的古巴比伦时代，一元四次方程的解决方法也在十五世纪由意大利数学家费拉里给出，而此后差不错三百年的时间里，几乎每一个对代数有点见地的人都曾经尝试过这个看起来并不算很困难的问题，但是没有人真正成功过，意大利数学家鲁菲尼是最接近成功的一个人，但是他的证明有明显的漏洞，阿贝尔是第一个彻底解决了这个问题的人，他证明了求根公式的不存在，并且给出了一个一般一元五次方程可以通过加减乘除和开平反运算得到解的充分条件，这个充分条件使得阿贝尔在一个他从来没有涉足过的领域---群论里鼎鼎大名。随便翻开一本抽象代数或者群论最入门的教材，阿贝尔群(交换群)都是必不可少的内容。阿贝尔并未停止与此，他还思考了对于一般n次代数方程求解的问题，非常遗憾的是他并没有完成对这个问题的探索。

就在阿贝尔解决五次方程求解问题的同时，雅可比也在柏林尝试着同样的问题，但是却以失败告终。不同的数学天赋让雅可比没有阿贝尔的严谨与想象力，但是作为历史上三大最具运算能力的人之一（另外两位是欧拉和印度天才拉马努金），他的天赋体现在处理复杂和繁琐的运算上，所以他在力学和数学物理里等应用领域里都有着不俗的贡献。此外雅可比非常地勤奋，当有人向他抱怨长时间艰苦的科学研究会损害健康的时候，他回答说，卷心菜不会紧张也没有烦恼，但是它能从它的健康里得到什么呢？勤奋所以多产，不单是著作，还有七个孩子，而此后在柏林科学院工作，被普鲁士国王资助再加上勤奋和计算能力，让我不得不怀疑会不会是欧拉转世。

在学习数学的方法上，雅可比和阿贝尔惊人的一致，都是直接从大师的著作开始，如果说阿贝尔选择这种方式多多少少是因为挪威匮乏的数学教育资源，而雅可比更直接，他认为大学里那些课程都是废话。

伟大的数学家并不都是伟大的老师，过于跳跃的思维有时候会让人难以跟上他们的步伐，雅可比和阿贝尔都可以算的上是好老师，不过要是比较的话，胜利的是雅可比。博士还没毕业的雅可比已经是柏林大学的讲师了，他在教学中讲述最新的研究，鼓励学生独立思考和工作，他认为应该把学生直接扔到冰水里，由他们自己学会游泳或者淹死。这种新颖的教学方式受到了学生的欢迎（应该是会游泳的学生的欢迎，淹死的也没机会说话了），也得到了教育界的认可，在他博士毕业的时候，柯尼斯堡大学也把他聘为讲师。在23岁时他被升为副教授，主要原因是他的一些数论的成果赢得了高斯的称赞，于是教育部马上关注和提拔了这个年轻人，因为他们知道高斯是不轻易称赞别人的。此后高斯一直对雅可比非常关注，当他的家族破产的时候，高斯还担心他的经济状况。如果高斯能够把他对雅可比的关注分一点点给阿贝尔，那么阿贝尔很有可能在他有生之年就得到他应有的荣誉，也很有可能延长他的数学生涯。

对于高斯，阿贝尔起先是非常的崇拜，他盼望有一天能得到王子的认可。于是当他好不容易得到政府的资助可以去欧洲游学的时候，他没有选择最强的法国而是德国作为他的第一站。在开始这次旅行之前，阿贝尔自费印刷了他关于五次方程的论文，因为经济原因，他把的结果浓缩在六页不那么精致的纸上，他相信这是他打开欧洲数学最高殿堂的钥匙。论文早于阿贝尔到达德国，据可靠的消息，当高斯收到论文时连读都没有读就把它扔在了一边。虽然我马上就要为高斯辩护，但是我还是要说，对待年轻的科学家们，高斯很少展现出像对雅可比那样一个王子应有的大度。仅就这件事来说，高斯有情可原。前文提到五次方程问题是个百年老坑，每一天都有人继续往里跳，这些人有数学家比如欧拉，拉格朗日，还有民间数学家比如张三和无名氏。数学家对于自己的工作很清楚，但是民数就完全没有概念了，很多证法完全是天马行空，只能用想象力丰富形容，这些证法的发明人都梦想着能借巨人之手一朝成名，所以大部分寄给了当时最出名的数学家高斯。所以当高斯收到阿贝尔的证明的时候，又把这个几页纸的证明当成了民数的科幻小说。当阿贝尔得知这件事以后，他停留在了柏林，而没有去拜访在哥廷根的高斯，从此以后阿贝尔对高斯的态度也来了个180度转弯。很难说阿贝尔和高斯谁失去了更多，但是可以确定是数学上的损失。

在柏林，阿贝尔遇到了一个对他和雅可比都有着巨大影响的人---克列尔（Crelle），这个名字在此后的百年时间里几乎和每一个一流的德国数学家都有关联。克列尔本人不算是数学家，只能说是爱好者。作为工程师，克列尔修建了德国的第一条铁路，事业上的成功给他带来了丰厚的利益，所以他可以花更多的时间在他喜欢的数学上。但是他的数学天赋不足以让他做出任何值得记住的贡献，所以他克列尔了曲线救国的道路，而事实证明他的选择极为正确，他对数学的贡献甚至超越了同时代大部分数学家。在遇到阿贝尔之前，克列尔正打算创办世界上第一本纯数学的期刊《纯粹数学与应用数学杂志》。当他遇到阿贝尔之后，虽然无法理解阿贝尔的所有成果，但是深深被阿贝尔打动，并决定让阿贝尔当正在筹办的杂志的第一位撰稿人。在最初的三本期刊上有阿贝尔7篇文章，包括五次方程没有一般代数解的证明，这些文章让阿贝尔的名字传遍了欧洲，也给这本杂志带来了最初的知名度。在阿贝尔去世以后，高产的雅可比接过了撰稿人的大旗，据说在很长一段时间内，平均每本期刊上有三篇雅可比的文章，再往后还有维尔斯特拉斯，克罗内克，康拓等人为这本杂志添砖加瓦，这是后话，暂且不提。

离开德国，阿贝尔来到了巴黎，在这里他受到了拒人于千里之外的礼貌接见。当时拉格朗日已经去世；另外两个L都已经年过70，拉普拉斯是什么都不干了；勒让德还在努力地工作着，但是思维和精力已经大不如前了；傅里叶得了终身秘书的闲职以后就只剩下夸夸其谈了；泊松正忙着和安培做电磁方面的研究，数学已经不是首要任务了；还有一个德国人狄利克雷，正在为回国做准备；全科学院只剩下38岁的柯西还在正常工作。1826年10月的一天，题为《论一类非常广泛的超越函数的一般性质》的论文呈交到巴黎科学院，这篇论文在勒让德理解之后被他称作“永远的纪念碑”，被雅可比称作“这个世纪最伟大的发现”，埃尔米特说“这是阿贝尔留给未来500年内数学家的工作。”就是这样一篇重要的论文被忙于自己事业的柯西带回家后不知道放到哪里去了。直到1830年，阿贝尔已经离开这个世界，柯西才把它翻了出来，为此挪威曾向法国提出外交抗议。最可悲的是，这不是柯西最后一次犯这个错误，而他的下一次错误将更加致命。

当阿贝尔还在巴黎寻找他渺茫的希望时，克列尔正在全力为他申请柏林大学的数学教授职位，并写信劝说他到柏林去定居，于是阿贝尔又回到了柏林，此时他已身无分文，并且身体越来越不好，有一种传闻是他在巴黎已经被诊断出肺结核，这在当时是不治之症。眼看着柏林大学的职位遥遥无期，阿贝尔向霍尔姆伯紧急借了一些钱，设法回到了挪威。即使当时阿贝尔已经是挪威公认的数学第一人，但是还是很难找到一个数学教授的职位，因为整个挪威那时都没有什么像样的大学，仅有的几个职位都没有空缺。实际上经济问题并不是阿贝尔的首要问题，他的名气给他带来了一些工作和收入，也有一些富人愿意对他进行资助，但是他的身体却越来越差，到1829年初的时候，他已经经常进入昏迷状态。在阿贝尔生命最后的几个月里，他的未婚妻一直陪伴他左右，并且拒绝一切帮助，“我要单独享有他最后的时刻”她说。爱情应该是上帝给予阿贝尔的最后奖赏，同年4月，阿贝尔离开了这个世界，年仅26岁8个月。

相比于阿贝尔短暂而曲折的一生，雅可比大部分时间过着一个勤奋而正常的数学家该有的生活。家族的破产并没有影响他，大学教授的收入已经足够维持他所需要的生活。唯一值得一提的是他生命中最后几年里曾经涉足过政治，但是数学家严谨的逻辑和对于真理天真的执着和政治显然是背道而驰，这次不成功的冒险差点使他失去了普鲁士国王的资助。这里稍微提一下欧洲君主的开明，雅可比一直拿着国王的津贴，却参加了一个自由派的组织，这件事发生的时间是雅可比因为身体不适，国王准许他无限期的带薪休假的过程中。自法国大革命以后，任何一个国王都知道除了保皇党以外的其他党派是怎么回事，因此雅可比的津贴被停止了，仅此而已。稍后在洪堡的劝说下，因为普鲁士不希望失去一个伟大的数学家，津贴又被恢复了。再来说说阿贝尔所在的挪威，当阿贝尔展示出超越了挪威这个小舞台的天才时，挪威的数学家天文学家们要求政府资助阿贝尔去欧洲，政府先是给了一个折中的方案，资助阿贝尔在挪威学习德语和法语，一年以后当呼声再次响起的时候，政府妥协了，给阿贝尔准备了一笔并不丰厚但是够用的资金。请注意挪威政府可不是公务员比例和公款消费都居世界第一的那个富政府，挪威当时是绝对的第三世界，只有一个穷的叮当响的政府。如果我没有记错，好像这样的自由和民主在社会主义初级阶段还从来没有实现过。47岁的时候，雅可比死于天花而不是象大家预料的那样死于过度劳累，对于傅里叶对他和阿贝尔两人把精力花费在椭圆函数这样的纯数学而不是向大众解释自然科学现象的指责，他回答说，“科学唯一的目的是对人类思想的荣耀，”这也很好的解释了他心中的数学和他一生的追求。

阿贝尔的坎坷与出生于挪威这个当时不入流的国家有关，除了进入海盗圈，身为北欧人在当时基本上和科学没什么大关系。如同如果现在越南宣布出了象梅西一样的天才足球运动员，你估计也就相信他有梅西的身材。不过有弊也有利，当阿贝尔变成民族英雄被国家记住的时候，雅可比得到了高斯的关注，享受了国王的津贴，而他的星光却也只能被高斯和希尔伯特的日月光芒所掩盖。

在阿贝尔死后第二天，他收到了柏林大学数学教授的任命通知书，如果能够成行的话，他将和雅可比成为同事，惺惺相惜，强强联合，双剑合璧……，在数学里这不是一个假命题，而是一个空命题，所以在这里也没有讨论的必要。一年后，他收到了法国科学院的论文接受函和他与雅可比分享的大奖。在他的影响下，挪威又出了两位世界级的数学家西罗（Sylow）和李（Lie），他们都将继续研究阿贝尔的五次方程没有代数一般解所引发的群论，不过在此之前，还需要一位比阿贝尔更天才，生活更传奇，生命更短暂的年轻人---伽罗华，来完成阿贝尔留下的关于n次方程的题目，彻底打开群论的大门。